Lineáris algebra

Vektorok a térben: skaláris, vektoriális és vegyes szorzat

A három szorzat, amire a térgeometria épül: szög és merőlegesség, terület és normálvektor, térfogat és egy síkba esés, kidolgozott példákkal.

12 perc olvasás

1. Koordináták, hossz, műveletek

Ebben a leckében a térbeli vektorok három szorzatát szedtem össze Neked, mert a lineáris algebra és a vektoranalízis feladatainak nagy része ezekre épül. Mindegyikhez odaírtam, mire használjuk, mert a képletet könnyebb megjegyezni, ha tudod, mit mér. A térbeli vektort három koordináta adja, $\mathbf a=(a_1;\,a_2;\,a_3)$ : az $\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$ egységvektorok együtthatói. Két vektor összege és a skalárszoros koordinátánként megy; a hossz Pitagorasz tételéből:

Hossz és egységvektor

|\mathbf a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2},\qquad \mathbf e=\frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}

Egy egyszerű példa

$\mathbf a=(2;\,3;\,6)$ . A hossza $\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$ , az egységvektora $\mathbf e=\left(\frac27;\frac37;\frac67\right)$ : ugyanabba az irányba mutat, de a hossza 1. Ha $\mathbf b=(1;\,1;\,1)$ , akkor $\mathbf a+\mathbf b=(3;4;7)$ és $2\mathbf a=(4;6;12)$ , mindkettő koordinátánként. Ennél többet a műveletekről nem kell tudni.

Két pont, $A$ és $B$ közötti vektor $\overrightarrow{AB}=B-A$ , a koordináták különbsége; hossza a két pont távolsága. Például az $A=(1;0;2)$ és $B=(3;3;8)$ pontokra $\overrightarrow{AB}=(2;3;6)$ , tehát a távolságuk az előbbi 7. Ez a három szorzat mellett a leggyakrabban használt eszköz.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A skaláris szorzat

Két vektorból egy számot csinál. Két képlete van, és a kettő együtt az, ami hasznos: az egyik a koordinátákból számolható, a másik a szöget tartalmazza.

Skaláris szorzat

\mathbf a\cdot\mathbf b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\mathbf a|\,|\mathbf b|\cos\varphi

Egy egyszerű példa: merőlegesek-e?

$\mathbf a=(1;\,2;\,0)$ és $\mathbf b=(2;\,-1;\,5)$ : $\mathbf a\cdot\mathbf b=1\cdot2+2\cdot(-1)+0\cdot5=0$ . Nulla lett, tehát a két vektor merőleges, anélkül, hogy bármilyen szöget ki kellett volna számolni. Ha $\mathbf c=(1;\,1;\,1)$ -gyel próbálod, $\mathbf a\cdot\mathbf c=3$ , pozitív: a két vektor hegyesszöget zár be. Negatív szorzat tompaszöget jelentene.

Amire még használjuk:

szög: $\cos\varphi=\dfrac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|}$ ;
merőlegesség: $\mathbf a\perp\mathbf b\iff\mathbf a\cdot\mathbf b=0$ ;
vetület: az $\mathbf a$ vetülete a $\mathbf b$ irányára $\dfrac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|}$ hosszú;
hossz: $\mathbf a\cdot\mathbf a=|\mathbf a|^2$ .

Két vektor szöge

$\mathbf a=(1;2;2)$ , $\mathbf b=(2;-1;2)$ : $\mathbf a\cdot\mathbf b=2-2+4=4$ , $|\mathbf a|=|\mathbf b|=3$ , tehát $\cos\varphi=\frac49$ , $\varphi\approx63{,}6^\circ$ .

3. A vektoriális szorzat

Két vektorból egy vektort csinál, ami mindkettőre merőleges. Iránya a jobbkéz-szabály szerint, hossza a két vektor által kifeszített paralelogramma területe. Koordinátákkal egy formális determináns:

Vektoriális szorzat

\mathbf a\times\mathbf b=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2;\ a_3b_1-a_1b_3;\ a_1b_2-a_2b_1\bigr)

|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a|\,|\mathbf b|\sin\varphi=T_{\text{paralelogramma}},\qquad \mathbf a\times\mathbf b=-\,\mathbf b\times\mathbf a,\qquad \mathbf a\parallel\mathbf b\iff\mathbf a\times\mathbf b=\mathbf 0

Egy egyszerű példa: a tengelyek

$\mathbf i\times\mathbf j$ , azaz $(1;0;0)\times(0;1;0)$ . A képletből $(0\cdot0-0\cdot1;\ 0\cdot0-1\cdot0;\ 1\cdot1-0\cdot0)=(0;0;1)=\mathbf k$ . Tényleg merőleges mindkettőre, a hossza 1 (az egységnégyzet területe), és a jobbkéz-szabály szerint felfelé mutat. Fordított sorrendben, $\mathbf j\times\mathbf i=-\mathbf k$ : ez az előjelváltás a képlet legfontosabb tulajdonsága.

Merőleges vektor és háromszög területe

Ugyanaz a két vektor: $\mathbf a=(1;2;2)$ , $\mathbf b=(2;-1;2)$ .

$\mathbf a\times\mathbf b=\bigl(2\cdot2-2\cdot(-1);\ 2\cdot2-1\cdot2;\ 1\cdot(-1)-2\cdot2\bigr)=(6;\,2;\,-5)$
Ellenőrzés: $(6;2;-5)\cdot(1;2;2)=6+4-10=0$ és $(6;2;-5)\cdot(2;-1;2)=12-2-10=0$ . Merőleges mindkettőre. Rendben.
A két vektor által kifeszített háromszög területe a paralelogramma fele: $\frac12\sqrt{36+4+25}=\frac{\sqrt{65}}{2}$ .

A determináns kifejtése fejben

A középső koordinátánál fordul az előjel: $a_3b_1-a_1b_3$ , nem $a_1b_3-a_3b_1$ . Ha bizonytalan vagy, a merőlegesség-ellenőrzés két skaláris szorzattal azonnal lebuktatja a hibát.

4. A vegyes szorzat

Három vektor vegyes szorzata $(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c$ : egy szám, ami a három vektor által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogata. Koordinátákkal a három vektorból alkotott determináns:

Vegyes szorzat

(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}=\pm V_{\text{paralelepipedon}}

A tetraéder térfogata ennek a hatoda. És a legfontosabb következmény: a vegyes szorzat pontosan akkor nulla, ha a három vektor egy síkba esik (komplanáris), mert akkor a „doboznak” nincs magassága.

Térfogat és komplanaritás

$\mathbf a=(1;2;2)$ , $\mathbf b=(2;-1;2)$ , $\mathbf c=(1;1;1)$ . Fentről $\mathbf a\times\mathbf b=(6;2;-5)$ , tehát $(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot\mathbf c=6+2-5=3$ : a paralelepipedon térfogata 3, a tetraéderé $\frac12$ , és a három vektor nem esik egy síkba.

5. Tipikus hibák

A vektoriális szorzat sorrendje. $\mathbf b\times\mathbf a=-\mathbf a\times\mathbf b$ ; a normálvektor irányánál ez előjelet fordít.
Skaláris szorzat eredménye vektor. A skaláris szorzat szám; ha vektort kapsz, koordinátánként szoroztál és nem adtad össze.
Vektoriális szorzat síkban. Két síkbeli vektor vektoriális szorzata nem síkbeli vektor; síkban a „területet” a $a_1b_2-a_2b_1$ determináns adja, ami a térbeli szorzat harmadik koordinátája.
$\cos\varphi$ a hosszakkal osztás nélkül. A skaláris szorzat önmagában nem a koszinusz; osztani kell mindkét hosszal.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció