Analízis 1

Az elemi függvények

Hatvány-, exponenciális, logaritmus-, trigonometrikus, arkusz- és hiperbolikus függvények egy helyen: alak, értelmezési tartomány, értékkészlet és a fejből tudandó azonosságok.

14 perc olvasás

1. Hatványfüggvények, polinomok, törtfüggvények

Ebben a leckében összeszedtem Neked azokat a függvényeket, amikkel az analízisben lépten-nyomon találkozni fogsz. Nem kell mindet egyszerre megjegyezni: a lényeg, hogy ránézésre felismerd őket, és tudd, hol vannak értelmezve és milyen értékeket vesznek fel.

Kezdjük a hatványfüggvényekkel. Az $x^n$ alakú függvények viselkedését a kitevő dönti el. Egész kitevőnél a paritás számít: a páros kitevőjű ( $x^2, x^4$ ) az $y$ tengelyre szimmetrikus, csak nemnegatív értéket vesz fel; a páratlan ( $x, x^3$ ) az origóra szimmetrikus és szigorúan monoton, tehát van inverze az egész számegyenesen. Egy egyszerű példán látszik a különbség: $(-2)^2=4$ , ugyanannyi, mint $2^2$ , viszont $(-2)^3=-8$ , ami a $2^3=8$ ellentettje.

Függvény	Értelmezési tartomány	Értékkészlet	Megjegyzés
$x^{2k}$	$\mathbb{R}$	$[0;\infty)$	páros, nem injektív
$x^{2k+1}$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	páratlan, szigorúan növő
$\sqrt{x}=x^{1/2}$	$[0;\infty)$	$[0;\infty)$	az $x^2$ inverze $[0;\infty)$ -en
$\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	páratlan gyök negatívból is vonható
$\dfrac{1}{x}=x^{-1}$	$\mathbb{R}\setminus\{0\}$	$\mathbb{R}\setminus\{0\}$	hiperbola, páratlan, saját inverze

A polinom hatványfüggvények számszorosainak összege; a fokszáma a legnagyobb kitevő. Egy $n$ -edfokú polinomnak legfeljebb $n$ zérushelye van, és a végtelenben a legnagyobb fokú tag dönt (részletesen a polinomokról szóló leckében). A racionális törtfüggvény két polinom hányadosa: a nevező zérushelyein nincs értelmezve, és ott jellemzően függőleges aszimptotája van.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Exponenciális és logaritmusfüggvény

Az $a^x$ ( $a>0$ , $a\neq1$ ) az egész számegyenesen értelmezett és csak pozitív értékeket vesz fel. Ha $a>1$ , szigorúan növő, ha $0<a<1$ , szigorúan csökkenő; mindkét esetben átmegy a $(0;\,1)$ ponton. A legfontosabb alap az $e\approx2{,}718$ , mert az $e^x$ deriváltja önmaga.

A $\log_a x$ az $a^x$ inverze: csak pozitív számnak van logaritmusa, az értékkészlete viszont az egész $\mathbb{R}$ . Az $e$ alapú a természetes logaritmus, $\ln x$ .

Az azonosságok

a^{x+y}=a^xa^y,\quad (a^x)^y=a^{xy},\quad \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\quad \log_a x^k=k\log_a x,\quad \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}

Egy egyszerű példa: az azonosságok számokkal

Nézzük meg mindegyiket egy-egy konkrét számmal, hogy lásd, tényleg működnek. $2^3\cdot 2^4=8\cdot 16=128=2^7$ : a kitevők összeadódtak. $(2^3)^2=8^2=64=2^6$ : a kitevők összeszorzódtak. A logaritmusnál ugyanez fordítva: $\log_2(8\cdot 4)=\log_2 32=5$ , és valóban $\log_2 8+\log_2 4=3+2=5$ . Végül $\log_2 8^2=\log_2 64=6=2\cdot\log_2 8$ , a kitevő kijött a logaritmus elé.

Az utolsó azonosság, az áttérés más alapra, azért fontos, mert a deriválási és integrálási képletek mind $e$ -re és $\ln$ -re vannak kimondva. Ezért érdemes megjegyezni, hogy bármelyik alapot át tudjuk írni: $a^x=e^{x\ln a}$ . Például $2^x=e^{x\ln 2}$ , és ez a két függvény pontosan ugyanaz.

Egyenlet logaritmussal

$\ln(x+2)+\ln x=\ln 3$ . Az azonossággal $\ln\bigl(x(x+2)\bigr)=\ln 3$ , tehát $x^2+2x-3=0$ , amiből $x=1$ vagy $x=-3$ . A $-3$ nem jó, mert $\ln(-3)$ nem létezik: az értelmezési tartomány itt $x>0$ . A megoldás $x=1$ .

3. Trigonometrikus függvények

A szinusz és a koszinusz az egységkörön mozgó pont két koordinátája: $\cos x$ az első, $\sin x$ a második, ahol $x$ a szög radiánban. Ebből minden tulajdonságuk következik: értékkészletük $[-1;1]$ , periódusuk $2\pi$ , a szinusz páratlan, a koszinusz páros.

Függvény	Értelmezési tartomány	Értékkészlet	Periódus
$\sin x$	$\mathbb{R}$	$[-1;1]$	$2\pi$
$\cos x$	$\mathbb{R}$	$[-1;1]$	$2\pi$
$\operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$	$x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$	$\mathbb{R}$	$\pi$
$\operatorname{ctg}x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$	$x\neq k\pi$	$\mathbb{R}$	$\pi$

Az alábbi nevezetes értékeket érdemes fejből tudni, mert a feladatokban lépten-nyomon előjönnek, és sokat lassít, ha mindig ki kell keresni őket:

x	0	π/6	π/4	π/3	π/2
$\sin x$	$0$	$\tfrac12$	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\cos x$	$1$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{\sqrt2}{2}$	$\tfrac12$	$0$
$\operatorname{tg}x$	$0$	$\tfrac{1}{\sqrt3}$	$1$	$\sqrt3$	–

Az azonosságok, amik nélkül nem megy

\sin^2x+\cos^2x=1,\qquad \sin2x=2\sin x\cos x,\qquad \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1

\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y,\qquad \cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y

Egy egyszerű példa: az azonosságok ellenőrzése

Vegyük az $x=\frac{\pi}{6}$ szöget, aminek az értékeit a táblázatból kiolvashatod. Az első azonosság: $\sin^2\frac{\pi}{6}+\cos^2\frac{\pi}{6}=\frac14+\frac34=1$ , rendben. A kétszeres szög: $\sin\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}$ , és ez tényleg egyezik a táblázat $\frac{\pi}{3}$ -nál álló értékével. Ha egy azonosságban bizonytalan vagy, mindig ezt csináld: helyettesíts be egy nevezetes szöget, és nézd meg, kijön-e.

A $\cos 2x$ két átrendezett alakja, $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$ és $\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$ , az integrálásnál a leggyakoribb eszköz lesz, ezért érdemes már most megbarátkozni velük.

4. Arkuszfüggvények

A trigonometrikus függvények periodikusak, tehát nem injektívek: ugyanazt az értéket végtelen sok szögnél felveszik. Inverzük ezért csak egy leszűkített darabon van. Ezt a darabot megállapodás rögzíti, és ez adja az arkuszfüggvények értékkészletét. Az arkuszfüggvény tehát azt az egyetlen szöget adja vissza, ami a rögzített tartományba esik. Ezt a tartományt szedtem össze Neked az alábbi táblázatban, mert a hibák túlnyomó része innen jön:

Függvény	Értelmezési tartomány	Értékkészlet	Miből jön
$\arcsin x$	$[-1;1]$	$\left[-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right]$	szinusz a $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ -n
$\arccos x$	$[-1;1]$	$[0;\pi]$	koszinusz a $[0;\pi]$ -n
$\operatorname{arctg}x$	$\mathbb{R}$	$\left(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right)$	tangens a $(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ -n
$\operatorname{arcctg}x$	$\mathbb{R}$	$(0;\pi)$	kotangens a $(0;\pi)$ -n

Értékek és átalakítás

$\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3}$ , mert a szinusz a $\frac{\pi}{3}$ -ban $\frac{\sqrt3}{2}$ , és ez a szög benne van az értékkészletben. A $\frac{2\pi}{3}$ is ugyanezt a szinuszt adná, de az nem esik a tartományba.
$\operatorname{arctg}(-1)=-\frac{\pi}{4}$ , nem $\frac{3\pi}{4}$ : az arkusz tangens értéke mindig $\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$ -ben van.
$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$ : ha $\varphi=\arccos x$ , akkor $\cos\varphi=x$ és $\varphi\in[0;\pi]$ , ahol a szinusz nem negatív, ezért $\sin\varphi=+\sqrt{1-\cos^2\varphi}$ .

arctg és a síknegyed

Az $\operatorname{arctg}\frac{b}{a}$ csak a jobb félsíkban adja a helyes irányszöget; a bal félsíkban $\pi$ -t kell hozzáadni. Ez ugyanaz a probléma, ami a komplex számok argumentumánál is előjön.

5. Hiperbolikus függvények

Az exponenciális függvény páros és páratlan „feléből” két függvény készül, amik meglepően hasonlítanak a trigonometrikusakra, csak előjelekben térnek el:

Hiperbolikus függvények

\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\qquad \operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}

\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1,\qquad (\operatorname{sh}x)'=\operatorname{ch}x,\qquad (\operatorname{ch}x)'=\operatorname{sh}x

Egy egyszerű példa: számoljunk ki két értéket

A 0-ban a legegyszerűbb: $e^0=1$ , ezért $\operatorname{sh}0=\frac{1-1}{2}=0$ és $\operatorname{ch}0=\frac{1+1}{2}=1$ , pont úgy, mint a $\sin 0$ és a $\cos 0$ . Egy kevésbé triviális hely az $x=\ln 2$ , mert ott $e^{x}=2$ és $e^{-x}=\frac12$ : $\operatorname{sh}(\ln2)=\frac{2-\frac12}{2}=\frac34$ , $\operatorname{ch}(\ln2)=\frac{2+\frac12}{2}=\frac54$ . Ellenőrizzük az azonosságot: $\frac{25}{16}-\frac{9}{16}=1$ , tényleg kijön.

A $\operatorname{sh}$ páratlan, szigorúan növő, értékkészlete $\mathbb{R}$ ; a $\operatorname{ch}$ páros, minimuma $\operatorname{ch}0=1$ , ez a láncgörbe alakja; a $\operatorname{th}$ értékkészlete $(-1;1)$ . Inverzeik az area-függvények, például $\operatorname{arsh}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ ; ezek az integrálásban a $\sqrt{x^2\pm1}$ alakoknál bukkannak fel.

6. Tipikus hibák

$a^x$ és $x^a$ keverése. A $2^x$ exponenciális, az $x^2$ hatványfüggvény: más a deriváltjuk, más a növekedésük.
Logaritmus negatív számból vagy nullából. A $\ln x$ csak $x>0$ -ra létezik; egyenlet megoldásakor a hamis gyökök innen jönnek.
$\ln(x+y)$ szétbontása. Az összeg logaritmusára nincs azonosság; a szorzatéra van.
Tangens periódusa. A tangens $\pi$ szerint periodikus, nem $2\pi$ szerint.
$\sin^2x$ és $\sin x^2$ . Az első $(\sin x)^2$ , a második $\sin(x^2)$ .
Arkuszfüggvény értéke a rossz tartományban. $\arcsin(\sin\pi)$ nem $\pi$ , hanem $0$ : az arkusz szinusz értéke sosem lép ki a $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ -ből.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalása Csoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)