Analízis 1

Paraméteresen adott görbék

Kör, ellipszis, ciklois: hogyan adunk meg egy görbét paraméterrel, hogyan számolunk érintőt és területet, és mi a helyzet polárkoordinátákban.

11 perc olvasás

1. A paraméteres megadás

Egy görbét nem csak $y=f(x)$ alakban lehet leírni. A kör például nem függvénygrafikon, mégis egyszerű, ha a pontjait egy paraméterrel, a szöggel adjuk meg. Paraméteres megadásnál mindkét koordináta egy közös változó, jellemzően a $t$ idő függvénye:

Paraméteres görbe

x=x(t),\qquad y=y(t),\qquad t\in[\alpha;\beta]

Egy egyszerű példa: a kör pontjai

Az $x=\cos t$ , $y=\sin t$ egységkörön a $t$ a szög. A $t=0$ az $(1;0)$ pontot adja, a $t=\frac{\pi}{2}$ a $(0;1)$ -et, a $t=\pi$ a $(-1;0)$ -t: ahogy a $t$ 0-tól $2\pi$ -ig nő, a pont egyszer körbejár. Ha egy paraméterezés idegen, mindig ezt csináld: helyettesíts be három-négy $t$ értéket, és rajzold fel a kapott pontokat. Az alábbi táblázatba a leggyakoribb görbéket szedtem össze:

Görbe	Paraméterezés	Paraméter
Kör ( $r$ sugarú)	$x=r\cos t,\ y=r\sin t$	$t\in[0;2\pi]$
Ellipszis	$x=a\cos t,\ y=b\sin t$	$t\in[0;2\pi]$
Egyenes	$x=x_0+v_1t,\ y=y_0+v_2t$	$t\in\mathbb{R}$
Ciklois (gördülő kör pontja)	$x=r(t-\sin t),\ y=r(1-\cos t)$	$t\in[0;2\pi]$ egy ívre
Függvénygrafikon	$x=t,\ y=f(t)$	minden grafikon ilyen

Ugyanannak a görbének sok paraméterezése van; a kör $x=\cos2t,\ y=\sin2t$ alakban kétszer olyan gyorsan, $t\in[0;\pi]$ alatt fut körbe. A képletek, amik lent jönnek, ettől függetlenül ugyanazt az érintőt és területet adják.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Az érintő meredeksége

Az érintő meredeksége $\frac{dy}{dx}$ . A paraméteres alakban $y$ nem az $x$ függvénye közvetlenül, de a láncszabály szerint $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$ , amiből:

Érintő paraméteres görbéhez

\frac{dy}{dx}=\frac{\dot y(t)}{\dot x(t)}\qquad (\dot x(t)\neq0)

A pont fölötti pont a $t$ szerinti deriválást jelöli. Ahol $\dot y=0$ és $\dot x\neq0$ , az érintő vízszintes; ahol $\dot x=0$ és $\dot y\neq0$ , függőleges.

Egy egyszerű példa: a parabola paraméteresen

Az $x=t$ , $y=t^2$ görbe az $y=x^2$ parabola. A képlettel: $\dot x=1$ , $\dot y=2t$ , tehát $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2t}{1}=2t$ . Mivel $t=x$ , ez pontosan a jól ismert $2x$ derivált. A $t=0$ -ban $\dot y=0$ , tehát ott vízszintes az érintő: ez a parabola csúcsa.

Az ellipszis érintője

$x=2\cos t$ , $y=\sin t$ , érintő a $t=\frac{\pi}{4}$ pontban.

A pont: $\left(2\cos\frac{\pi}{4};\,\sin\frac{\pi}{4}\right)=\left(\sqrt2;\,\frac{\sqrt2}{2}\right)$ .
$\dot x=-2\sin t$ , $\dot y=\cos t$ , tehát $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\cos t}{-2\sin t}=-\dfrac{1}{2}\operatorname{ctg}t$ , ami $t=\frac{\pi}{4}$ -ben $-\frac12$ .
Az érintő: $y-\frac{\sqrt2}{2}=-\frac12\left(x-\sqrt2\right)$ , azaz $y=-\frac{x}{2}+\sqrt2$ .
Vízszintes érintő ott, ahol $\cos t=0$ : $t=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$ , a $(0;\pm1)$ pontokban; függőleges, ahol $\sin t=0$ : a $(\pm2;0)$ pontokban. Pont az ellipszis négy „csúcsa”.

A második derivált

A görbület vizsgálatához $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot y}{\dot x}\right)}{\dot x}$ : az első deriváltat mint $t$ függvényét még egyszer deriváljuk, és megint osztunk $\dot x$ -tal. Nem $\ddot y/\ddot x$ !

3. A görbe által bezárt terület

A $\int y\,dx$ területképletbe a paraméteres alakot helyettesítve $dx=\dot x\,dt$ :

Terület paraméteres alakban

T=\left|\int_{\alpha}^{\beta}y(t)\,\dot x(t)\,dt\right|

Az abszolút érték azért kell, mert a körüljárás iránya előjelet adhat. Zárt görbénél a teljes paramétertartományon integrálva a bezárt területet kapjuk.

Egy egyszerű példa: a parabola alatt

Maradjunk az $x=t$ , $y=t^2$ parabolánál a $t\in[0;1]$ szakaszon. Mivel $\dot x=1$ : $T=\int_0^1 t^2\cdot 1\,dt=\frac13$ . Ez ugyanaz, mint az $\int_0^1x^2\,dx$ , ahogy lennie is kell: a paraméteres képlet függvénygrafikonra visszaadja a régi területképletet.

Az ellipszis területe

$x=a\cos t$ , $y=b\sin t$ , $t\in[0;2\pi]$ .

T=\left|\int_0^{2\pi}b\sin t\cdot(-a\sin t)\,dt\right|=ab\int_0^{2\pi}\sin^2t\,dt=ab\left[\frac t2-\frac{\sin2t}{4}\right]_0^{2\pi}=ab\pi

Az $a=b=r$ esetben a kör területe, $r^2\pi$ , ahogy kell.

A ciklois egy íve alatti terület

$x=r(t-\sin t)$ , $y=r(1-\cos t)$ , $t\in[0;2\pi]$ ; $\dot x=r(1-\cos t)$ .

T=\int_0^{2\pi}r^2(1-\cos t)^2\,dt=r^2\int_0^{2\pi}\bigl(1-2\cos t+\cos^2t\bigr)dt=r^2\bigl(2\pi-0+\pi\bigr)=3r^2\pi

A gördülő kör területének a háromszorosa: ez volt az egyik első eredmény, amit a XVII. században az integrálszámítás elődjével kiszámoltak.

4. Polárkoordinátákban adott görbék

A polárkoordinátás megadás a paraméteres speciális esete: a görbe pontjait az origótól mért $r$ távolság és a $\varphi$ irányszög adja, $r=r(\varphi)$ . Ebből $x=r(\varphi)\cos\varphi$ , $y=r(\varphi)\sin\varphi$ . A terület itt nem téglalapokból, hanem körcikkekből áll össze:

Terület polárkoordinátákban

T=\frac12\int_{\alpha}^{\beta}r(\varphi)^2\,d\varphi

Egy egyszerű példa: a kör és a félkör

Az $r(\varphi)=R$ konstans egy $R$ sugarú kör: $T=\frac12\int_0^{2\pi}R^2\,d\varphi=\frac12R^2\cdot2\pi=R^2\pi$ . Ha csak $\varphi\in[0;\pi]$ -ig integrálsz, a felét kapod, a félkör területét. A képlet tehát pontosan azt teszi, amit egy körcikk területétől várunk: $\frac12r^2\cdot\text{szög}$ .

A kardioid területe

$r=1+\cos\varphi$ , $\varphi\in[0;2\pi]$ .

T=\frac12\int_0^{2\pi}(1+\cos\varphi)^2d\varphi=\frac12\int_0^{2\pi}\bigl(1+2\cos\varphi+\cos^2\varphi\bigr)d\varphi=\frac12\bigl(2\pi+0+\pi\bigr)=\frac{3\pi}{2}

Az ívhossz mindkét megadásnál a saját képletével megy; ezt az ívhossz számításról szóló lecke tárgyalja paraméteres és poláris alakra is.

5. Tipikus hibák

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dot x}{\dot y}$ . A tört fordítva áll: a számlálóban az $y$ deriváltja. Ellenőrzés a függvénygrafikon esetével: $x=t$ -re $\dot x=1$ , és $\dot y=f'(t)$ kell, hogy kijöjjön.
Területnél elfelejtett $\dot x$ . A $\int y\,dt$ nem terület; $dx=\dot x\,dt$ kell.
Poláris területnél hiányzó $\frac12$ vagy négyzet. A képlet $\frac12\int r^2\,d\varphi$ ; a körre ellenőrizve $\frac12\cdot r^2\cdot2\pi=r^2\pi$ .
Rossz paramétertartomány. A zárt görbe egy teljes körüljárását kell venni, nem többet és nem kevesebbet; $\cos2t$ -s paraméterezésnél $[0;\pi]$ a teljes kör.

Ingyenes szabályösszegző ehhez a témáhozAz összes deriválási és integrálási szabály és az alapderiváltak egy nyomtatható lapon, e-mailben, ingyen.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalása Csoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)