Analízis 2

Kétváltozós függvények szélsőértéke

Stacionárius pontok, a Hesse-determináns és a második derivált próba: minimum, maximum vagy nyeregpont, és mi a teendő zárt tartományon.

13 perc olvasás

1. Stacionárius pontok

Ebben a leckében ugyanazt a gondolatmenetet visszük át két változóra, amit az egyváltozós szélsőértéknél már ismersz. Egyváltozósan a belső szélsőértéknél a derivált nulla. Két változóban ugyanez: a felület legmagasabb vagy legmélyebb pontjában az érintősík vízszintes, vagyis mindkét parciális derivált nulla.

Szükséges feltétel

f_x(a,b)=0\qquad\text{és}\qquad f_y(a,b)=0

Egy egyszerű példa: a tál alja

Az $f(x,y)=x^2+y^2$ felület egy felfelé nyíló tál, aminek az alja szemmel láthatóan az origóban van. A feltétellel ugyanezt kapjuk: $f_x=2x=0$ és $f_y=2y=0$ csak az $x=0$ , $y=0$ helyen teljesül egyszerre. Ott $f(0,0)=0$ , és minden más pontban a függvény ennél nagyobb: ez tényleg minimum.

Az ilyen pontokat stacionárius pontnak hívjuk. A feltétel csak szükséges: a nyeregfelület ( $z=x^2-y^2$ ) origójában is nulla mindkét derivált, pedig ott nincs szélsőérték, az egyik irányban minimum, a másikban maximum. A döntéshez a második deriváltak kellenek.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A második derivált próba

A négy másodrendű parciális derivált a Hesse-mátrixot alkotja; a Young-tétel miatt $f_{xy}=f_{yx}$ , tehát a mátrix szimmetrikus. A döntés a determinánsán és a bal felső elemén múlik:

Hesse-determináns

D=\begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy}\end{vmatrix}=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\qquad\text{a stacionárius pontban}

D	f_xx	Döntés
$D>0$	$f_{xx}>0$	lokális minimum
$D>0$	$f_{xx}<0$	lokális maximum
$D<0$	–	nyeregpont, nincs szélsőérték
$D=0$	–	a próba nem dönt, más vizsgálat kell

Egy egyszerű példa: a tál és a nyereg

A tálnál ( $f=x^2+y^2$ ) $f_{xx}=2$ , $f_{yy}=2$ , $f_{xy}=0$ , tehát $D=2\cdot2-0=4>0$ és $f_{xx}>0$ : lokális minimum, ahogy vártuk. A nyeregnél ( $f=x^2-y^2$ ) $f_{xx}=2$ , $f_{yy}=-2$ , $f_{xy}=0$ , tehát $D=-4<0$ : nyeregpont. A determináns tehát pontosan azt a különbséget veszi észre, amit a szemünk is lát: a tál minden irányban felfelé görbül, a nyereg az egyik irányban fel, a másikban le.

A logika a kvadratikus alakok definitségéé: $D>0$ és $f_{xx}>0$ azt jelenti, hogy a Hesse-mátrix pozitív definit, a felület minden irányban felfelé görbül.

3. Kidolgozott példák

Minimum és nyeregpont egy függvényben

$f(x,y)=x^3-3x+y^2-4y$ .

$f_x=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1$ , $f_y=2y-4=0\Rightarrow y=2$ . Két stacionárius pont: $(1;2)$ és $(-1;2)$ .
$f_{xx}=6x$ , $f_{yy}=2$ , $f_{xy}=0$ , tehát $D=12x$ .
$(1;2)$ : $D=12>0$ , $f_{xx}=6>0$ : lokális minimum, $f(1,2)=1-3+4-8=-6$ .
$(-1;2)$ : $D=-12<0$ : nyeregpont.

Vegyes tag a függvényben

$f(x,y)=x^2+y^2-xy-3x$ .

$f_x=2x-y-3=0$ , $f_y=2y-x=0$ . A másodikból $x=2y$ , az elsőbe: $4y-y-3=0$ , $y=1$ , $x=2$ .
$f_{xx}=2$ , $f_{yy}=2$ , $f_{xy}=-1$ : $D=4-1=3>0$ , $f_{xx}>0$ : minimum.
$f(2,1)=4+1-2-6=-3$ . Mivel a függvény „felfelé nyíló” másodfokú, ez egyben az abszolút minimum is.

4. Abszolút szélsőérték zárt tartományon

Zárt, korlátos tartományon folytonos függvénynek van legnagyobb és legkisebb értéke (Weierstrass). Ezt vagy egy belső stacionárius pontban, vagy a határon veszi fel, ezért a recept kétlépcsős: belső stacionárius pontok, aztán a határ mint egyváltozós feladat, végül a jelöltek összehasonlítása.

Körlapon

$f(x,y)=x^2+y^2-2x$ az $x^2+y^2\le4$ körlapon.

Belül: $f_x=2x-2=0$ , $f_y=2y=0$ , tehát $(1;0)$ , ami a körlap belsejében van; $f(1,0)=-1$ .
A határ a $x=2\cos t$ , $y=2\sin t$ kör: $f=4-4\cos t$ . Ez $t=\pi$ -nél maximális ( $8$ , a $(-2;0)$ pontban), $t=0$ -nál minimális ( $0$ , a $(2;0)$ pontban).
Összehasonlítás: a jelöltek $-1,\ 8,\ 0$ . Abszolút minimum $-1$ az $(1;0)$ -ban, abszolút maximum $8$ a $(-2;0)$ -ban.

Ha a határ egy egyenlet: Lagrange

A határon a paraméterezés helyett a Lagrange-multiplikátor is használható: a $g(x,y)=x^2+y^2-4=0$ feltétel melletti szélsőértéket keressük. Sokszögtartománynál viszont oldalanként egy-egy egyváltozós feladat a legegyszerűbb.

5. Tipikus hibák

Csak az egyik parciális derivált nulla. Mindkettőnek egyszerre kell nullának lennie; a két egyenletet egyenletrendszerként kell megoldani.
$f_{xy}$ kihagyása a determinánsból. A $D=f_{xx}f_{yy}$ hibás; a $-f_{xy}^2$ tag dönti el a nyeregpontot.
Második deriváltak nem a stacionárius pontban. A $D$ -t és $f_{xx}$ -et a konkrét pontban kell kiértékelni; általános képletként az előjelük pontról pontra változhat.
$D=0$ mint „nincs szélsőérték”. A $D=0$ csak azt jelenti, hogy a próba nem dönt; az $x^4+y^4$ origójában $D=0$ , mégis minimum.
Zárt tartománynál elfelejtett határ. A belső stacionárius pont lehet, hogy csak lokális; az abszolút szélsőérték gyakran a határon van.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció