Gyakorló feladatsor: differenciálegyenletek

Megoldás

1. Szétválasztható: $\dfrac{dy}{y^2}=x\,dx$, integrálva $-\dfrac1y=\dfrac{x^2}{2}+C$.
2. $y(0)=1$: $-1=C$. Tehát $-\dfrac1y=\dfrac{x^2}{2}-1=\dfrac{x^2-2}{2}$, azaz
   $$y=\frac{2}{2-x^2}$$
3. Ellenőrzés: $y'=\dfrac{4x}{(2-x^2)^2}$, és $xy^2=x\cdot\dfrac{4}{(2-x^2)^2}$. Rendben. A megoldás csak $|x|<\sqrt2$-n él: ott elszáll.

Megoldás

1. $e^{x-y}=e^xe^{-y}$, tehát szétválasztható: $e^y\,dy=e^x\,dx$.
2. Integrálva: $e^y=e^x+C$, azaz
   $$y=\ln\bigl(e^x+C\bigr)$$
3. Ellenőrzés: $y'=\dfrac{e^x}{e^x+C}$, és $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}=\dfrac{e^x}{e^x+C}$. Rendben.

Megoldás

1. Elsőrendű lineáris; integráló tényező $e^{\int2\,dx}=e^{2x}$. Ezzel szorozva a bal oldal egy szorzat deriváltja: $\bigl(ye^{2x}\bigr)'=e^{-x}e^{2x}=e^{x}$.
2. Integrálva: $ye^{2x}=e^x+C$, tehát $y=e^{-x}+Ce^{-2x}$.
3. $y(0)=1+C=2$, $C=1$:
   $$y=e^{-x}+e^{-2x}$$
   Ellenőrzés: $y'+2y=(-e^{-x}-2e^{-2x})+(2e^{-x}+2e^{-2x})=e^{-x}$. Rendben.

Megoldás

1. A bal oldal már szorzat deriváltja: $(xy)'=xy'+y$. (Ha ezt nem vesszük észre: $x$-szel osztva $y'+\frac1xy=x$, integráló tényező $e^{\ln x}=x$, ami visszavisz ide.)
2. $(xy)'=x^2$, integrálva $xy=\dfrac{x^3}{3}+C$:
   $$y=\frac{x^2}{3}+\frac{C}{x}$$
3. Ellenőrzés: $xy'+y=x\left(\frac{2x}{3}-\frac{C}{x^2}\right)+\frac{x^2}{3}+\frac Cx=x^2$. Rendben.

Megoldás

1. Karakterisztikus egyenlet: $\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2=0$, kettős gyök $\lambda=2$. Általános megoldás: $y=(C_1+C_2x)e^{2x}$.
2. $y(0)=C_1=1$. $y'=C_2e^{2x}+2(C_1+C_2x)e^{2x}$, tehát $y'(0)=C_2+2C_1=C_2+2=0$, $C_2=-2$.
3. $$y=(1-2x)e^{2x}$$
   Ellenőrzés: $y'=-2e^{2x}+2(1-2x)e^{2x}=-4xe^{2x}$, $y''=-4e^{2x}-8xe^{2x}$, és $y''-4y'+4y=e^{2x}(-4-8x+16x+4-8x)=0$. Rendben.

Megoldás

1. $\lambda^2+2\lambda+5=0$, $D=4-20=-16$, $\lambda=\dfrac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$.
2. Komplex gyökpárnál $\alpha=-1$, $\beta=2$:
   $$y=e^{-x}\bigl(C_1\cos2x+C_2\sin2x\bigr)$$
   Csillapított rezgés: az $e^{-x}$ burkoló alatt $2$ körfrekvenciájú lengés.

Megoldás

1. Homogén rész: $\lambda^2-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2)$, $y_h=C_1e^x+C_2e^{2x}$.
2. A jobb oldal $e^x$, és az $1$ gyöke a karakterisztikus egyenletnek: rezonancia. A próbafüggvényt $x$-szel szorozni kell: $y_p=Axe^x$.
3. $y_p'=A(1+x)e^x$, $y_p''=A(2+x)e^x$. Behelyettesítve:
   $$A(2+x)-3A(1+x)+2Ax=A(2+x-3-3x+2x)=-A\quad\Longrightarrow\quad -A=1,\ A=-1$$
4. $$y=C_1e^x+C_2e^{2x}-xe^x$$
   Ellenőrzés a partikuláris részre: $y_p=-xe^x$, $y_p''-3y_p'+2y_p=-(2+x)e^x+3(1+x)e^x-2xe^x=e^x$. Rendben.

Megoldás

1. Az egyenlet: $T'=-k(T-20)$, $T(0)=100$. Szétválasztva $\dfrac{dT}{T-20}=-k\,dt$, $\ln(T-20)=-kt+C$, tehát $T=20+Ae^{-kt}$, és $T(0)=100$ miatt $A=80$.
2. $T(10)=60$: $40=80e^{-10k}$, tehát $e^{-10k}=\frac12$, azaz $k=\dfrac{\ln2}{10}$. A hőmérséklet-különbség 10 percenként feleződik.
3. $T=30$: $10=80e^{-kt}$, $e^{-kt}=\frac18$. Mivel $\frac18=\left(\frac12\right)^3$, ez három feleződés:
   $$t=30\ \text{perc}$$
   Képlettel: $t=\dfrac{\ln8}{k}=\dfrac{3\ln2}{\ln2/10}=30$. Rendben.