Lineáris algebra

Kvadratikus alakok és definitség

Hogyan lesz egy másodfokú kifejezésből szimmetrikus mátrix, mit jelent a pozitív definitség, és hogyan dönt a Sylvester-kritérium vagy a sajátértékek.

12 perc olvasás

1. Kvadratikus alak és a mátrixa

Kvadratikus alak a változókban tisztán másodfokú kifejezés: minden tag két változó szorzata (vagy egy változó négyzete), konstans és elsőfokú tag nélkül. Minden ilyen kifejezés felírható egy szimmetrikus mátrixszal:

Kvadratikus alak

Q(\mathbf x)=\mathbf x^{T}A\mathbf x,\qquad A=A^{T}

A mátrix főátlójába a négyzetes tagok együtthatói kerülnek, a vegyes tag együtthatója pedig megfeleződik a két szimmetrikus helyre. A legegyszerűbb eset, amikor nincs vegyes tag: az $x^2+4y^2$ mátrixa $\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$ , és a szorzás visszaadja: $(x\ \ y)\binom{x}{4y}=x^2+4y^2$ . A vegyes tag az, ami a főátlón kívülre kerül:

Kifejezésből mátrix

$Q(x,y)=2x^2+6xy-y^2$ :

A=\begin{pmatrix}2&3\\3&-1\end{pmatrix},\qquad (x\ \ y)\begin{pmatrix}2&3\\3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=2x^2+3xy+3xy-y^2

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Definitség

A kérdés, ami miatt a kvadratikus alakok fontosak: milyen előjelű az érték a nullvektoron kívül? Egy egyszerű példán: az $x^2+y^2$ minden nem nulla helyen pozitív (egy tál), a $-x^2-y^2$ mindenhol negatív (egy fordított tál), az $x^2-y^2$ pedig az $(1;0)$ -ban 1, a $(0;1)$ -ban $-1$ : nyereg. Ezt a három viselkedést nevezi el az alábbi táblázat, és a lecke arról szól, hogyan döntjük el vegyes tagok esetén, amikor ránézésre nem látszik.

Elnevezés	Feltétel	Sajátértékek
pozitív definit	$Q(\mathbf x)>0\ \ \forall\mathbf x\neq\mathbf 0$	mind pozitív
negatív definit	$Q(\mathbf x)<0\ \ \forall\mathbf x\neq\mathbf 0$	mind negatív
pozitív szemidefinit	$Q(\mathbf x)\ge0$	nemnegatívak, van nulla
indefinit	van pozitív és negatív érték is	vegyes előjelűek

A sajátértékes jellemzés a főtengelytételből jön (lent). A gyakorlatban azonban van egy módszer, amihez nem kell sajátértéket számolni: a bal felső sarokból induló sarokfőminorok (az első $k$ sor és oszlop determinánsa).

Sylvester-kritérium

\text{pozitív definit}\iff D_1>0,\ D_2>0,\ \ldots,\ D_n>0;\qquad \text{negatív definit}\iff D_1<0,\ D_2>0,\ D_3<0,\ \ldots

Két alak definitsége

$2x^2+6xy-y^2$ : $D_1=2>0$ , $D_2=2\cdot(-1)-9=-11<0$ . Egyik minta sem: indefinit. Valóban, $Q(1,0)=2>0$ és $Q(0,1)=-1<0$ .
$3x^2+2xy+3y^2$ : $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$ , $D_1=3>0$ , $D_2=9-1=8>0$ : pozitív definit. A sajátértékek $2$ és $4$ , mindkettő pozitív, ahogy kell.

Szemidefinit esetben a sarokfőminor nem elég

Ha valamelyik $D_k=0$ , a Sylvester-kritérium nem dönt; a szemidefinitséghez az összes főminort (nem csak a sarokból indulókat) vagy a sajátértékeket kell nézni. Az $\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}$ sarokfőminorai $0$ és $0$ , mégis negatív szemidefinit.

3. A főtengelytétel

Szimmetrikus mátrix ortogonálisan diagonalizálható: $A=QDQ^{T}$ . Az $\mathbf y=Q^{T}\mathbf x$ új koordinátákban (ez egy forgatás) a vegyes tagok eltűnnek:

Főtengelytétel

Q(\mathbf x)=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2

Innen látszik a sajátértékes definitség-feltétel: az alak előjelét a $\lambda_i$ -k előjele adja. És innen jön a kúpszeletek osztályozása is. Egy egyszerű példa: a $2xy$ alak mátrixa $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ , a sajátértékei $1$ és $-1$ , a sajátvektorai a két szögfelező. Az elforgatott koordinátákban $2xy=y_1^2-y_2^2$ : a jól ismert $xy=1$ hiperbola tényleg egy 45°-kal elforgatott $y_1^2-y_2^2=2$ hiperbola. A vegyes tag tehát nem új alakzatot jelent, csak elforgatott tengelyeket.

Elforgatott ellipszis

A $3x^2+2xy+3y^2=8$ görbe. A sajátértékek $2$ és $4$ , sajátvektorok $(1;-1)$ és $(1;1)$ : a főtengelyek a $45^\circ$ -os egyenesek. Az új koordinátákban

2y_1^2+4y_2^2=8\qquad\Longleftrightarrow\qquad\frac{y_1^2}{4}+\frac{y_2^2}{2}=1

Egy ellipszis, féltengelyei $2$ (az $(1;-1)$ irányban) és $\sqrt2$ (az $(1;1)$ irányban). Ha a sajátértékek ellentétes előjelűek lettek volna, hiperbolát kapunk.

4. Alkalmazás: a Hesse-mátrix és a szélsőérték

A kétváltozós szélsőérték második derivált próbája pontosan a Hesse-mátrix definitsége: a függvény a stacionárius pont körül másodrendben egy kvadratikus alakkal közelíthető.

Hesse-mátrix	A stacionárius pont
pozitív definit	lokális minimum
negatív definit	lokális maximum
indefinit	nyeregpont
szemidefinit	nem dönthető el ebből

Két változónál a Sylvester-feltétel $D_1=f_{xx}$ és $D_2=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$ : ez az ismerős $D$ és $f_{xx}$ előjelvizsgálat. Három vagy több változónál ugyanez a sarokfőminorokkal megy tovább, ami a közgazdasági optimalizálásban (több termék, több input) a standard eszköz.

5. Tipikus hibák

A vegyes tag teljes együtthatója a mátrixban. A $6xy$ -ból a mátrixba $3$ kerül két helyre, nem $6$ .
Negatív definitnél „minden minor negatív”. A minta váltakozó: $D_1<0$ , $D_2>0$ , $D_3<0$ . A $-A$ pozitív definitségével egyenértékű.
Indefinit és szemidefinit keverése. Ha $D_2<0$ két változónál, az indefinit; ha $D_2=0$ , szemidefinit vagy indefinit, és tovább kell vizsgálni.
Sylvester nem szimmetrikus mátrixra. A kritérium csak szimmetrikus mátrixra érvényes; előbb szimmetrizálni kell.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció