Analízis 1

Függvények: alapfogalmak

Értelmezési tartomány, értékkészlet, paritás és monotonitás, függvénytranszformációk, összetett és inverz függvény.

13 perc olvasás

1. Mi a függvény, és mi az értelmezési tartománya?

Ebben a leckében összeszedtem Neked azokat az alapfogalmakat, amikre az egész analízis épül. Kezdjük a legelején: a függvény egy hozzárendelés, ami egy halmaz minden eleméhez pontosan egy értéket rendel. Amit behelyettesítünk, az az értelmezési tartomány ( $D_f$ ), amit kapunk, az az értékkészlet ( $R_f$ ). A „pontosan egy” a lényeg: egy $x$ -hez nem tartozhat két érték, ezért egy kör nem függvénygrafikon, egy parabola igen.

Egy egyszerű példa: mit csinál egy függvény?

Az $f(x)=2x+1$ függvény minden számot megdupláz, majd hozzáad egyet. Ha behelyettesítjük a 3-at: $f(3)=2\cdot 3+1=7$ . A 3-hoz tehát a 7 tartozik, és csakis a 7, semmi más. Ez a „pontosan egy érték” a gyakorlatban.

Ha egy feladat nem mondja meg az értelmezési tartományt, a természetes értelmezési tartományt vesszük: a valós számok azon legbővebb részhalmazát, amin a képlet értelmes. Három dolog szokott kizárni pontokat, ezeket érdemes mindig végignézni:

Kifejezés	Feltétel
Tört	$\text{nevező}\neq 0$
Páros gyök	$\text{gyök alatt}\ \ge 0$
Logaritmus	$\text{argumentum}>0$
Tangens, arkuszfüggvények	lásd az elemi függvényeknél

Természetes értelmezési tartomány

$f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-3}$ : a gyök miatt $x\ge 1$ , a nevező miatt $x\neq 3$ . Tehát $D_f=[1;3)\cup(3;\infty)$ .
$g(x)=\ln(4-x^2)$ : kell $4-x^2>0$ , azaz $x^2<4$ , tehát $D_g=(-2;2)$ .
$h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x}}$ : a gyök a nevezőben van, ezért szigorúan $x^2-x>0$ , azaz $x(x-1)>0$ : $D_h=(-\infty;0)\cup(1;\infty)$ .

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A függvények tulajdonságai

Egy függvényről a következő tulajdonságokat szokás kérdezni. A legtöbbjük a grafikonról is leolvasható, de a definíciót is érdemes ismerni, mert egy vizsgán nem a rajzot, hanem a számolást kérik számon. Az alábbi táblázatban egymás mellé tettem a kettőt, hogy lásd, mi tartozik össze:

Tulajdonság	Definíció	A grafikonon
Zérushely	$f(x_0)=0$	metszi az x tengelyt
Páros	$f(-x)=f(x)$	szimmetrikus az y tengelyre
Páratlan	$f(-x)=-f(x)$	szimmetrikus az origóra
Monoton növő	$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$	nem megy lefelé
Korlátos	$\|f(x)\|\le K$	két vízszintes egyenes közé fér
Periodikus	$f(x+p)=f(x)$	ismétlődik $p$ hosszú szakaszonként

A paritást úgy vizsgáljuk, hogy $-x$ -et helyettesítünk az $x$ helyére, és megnézzük, mi lett belőle. Egy egyszerű példán: $f(x)=x^2$ esetén $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$ , tehát páros; $f(x)=x^3$ esetén $f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$ , tehát páratlan. Az $x^2$ , $\cos x$ , $|x|$ páros; az $x^3$ , $\sin x$ , $\frac{1}{x}$ páratlan; az $e^x$ vagy az $x^2+x$ egyik sem. A legtöbb függvény egyik sem, és ez nem hiba, csak nincs szimmetriája.

Paritás vizsgálata

$f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ : $f(-x)=\dfrac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=\dfrac{-x^3}{x^2+1}=-f(x)$ , tehát páratlan. Ha egy függvényvizsgálatban ezt észreveszed, elég a pozitív felét vizsgálni, a másik fele tükörkép.

3. Függvénytranszformációk

Egy ismert grafikonból eltolással, nyújtással és tükrözéssel sok másikat meg tudunk rajzolni anélkül, hogy pontonként számolnánk. A szabály, amit érdemes megjegyezni: ami a $f$ -en kívül történik, az az $y$ irányban hat úgy, ahogy várnánk; ami a zárójelen belül, az az $x$ irányban, és fordítva. Az alábbi táblázatban összeszedtem az összes esetet:

Új függvény	Hatás a grafikonra
$f(x)+c$	eltolás fölfelé $c$ -vel
$f(x+c)$	eltolás balra $c$ -vel
$c\cdot f(x)$	nyújtás $y$ irányban $c$ -szeresére
$f(c\,x)$	összenyomás $x$ irányban $c$ -szeresére
$-f(x)$	tükrözés az $x$ tengelyre
$f(-x)$	tükrözés az $y$ tengelyre
$\|f(x)\|$	az $x$ tengely alatti rész felhajtása

Egy egyszerű példa: a parabola eltolása

Induljunk ki az $f(x)=x^2$ parabolából. A $g(x)=(x-2)^2+3$ grafikonja ugyanez a parabola, csak a zárójelben lévő $-2$ miatt jobbra tolva 2-vel (belül van, tehát fordítva hat!), a kívül lévő $+3$ miatt pedig fölfelé 3-mal. A csúcsa így az origóból a $(2;3)$ pontba kerül. Ellenőrizd: $g(2)=0+3=3$ , és ez tényleg a legkisebb érték, amit a függvény felvesz.

Több lépés egymás után

A $g(x)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1$ grafikonja a szinuszból: eltolás jobbra $\frac{\pi}{3}$ -mal (a zárójelben mínusz áll), nyújtás $y$ irányban kétszeresére, eltolás fölfelé 1-gyel. Az értékkészlet ebből leolvasható: $[-1;3]$ .

A belső transzformáció mindig fordítva hat

Az $f(x+2)$ balra tol, az $f(2x)$ feleakkorára nyom össze. Ezt a legtöbben fordítva gondolják; a gyors ellenőrzés: az $f(x+2)$ ott veszi fel az $f(0)$ értéket, ahol $x+2=0$ , vagyis $x=-2$ -nél.

4. Az összetett függvény

Két függvényt egymás után alkalmazva összetett függvényt kapunk: előbb a belső $g$ dolgozik, aztán a külső $f$ .

Összetett függvény

(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)

Nézzük ezt egy egyszerű példán. Legyen $f(x)=x+1$ és $g(x)=3x$ . Ha a 2-t behelyettesítjük, előbb a belső dolgozik: $g(2)=6$ , aztán a külső: $f(6)=7$ . Tehát $(f\circ g)(2)=7$ , képlettel pedig $(f\circ g)(x)=3x+1$ . Fordított sorrendben viszont $(g\circ f)(x)=3(x+1)=3x+3$ , ami a 2-nél 9-et ad, nem 7-et.

A sorrend tehát számít: $f\circ g$ és $g\circ f$ általában két különböző függvény. Később, deriváláskor (láncszabály) és integráláskor (helyettesítés) a legfontosabb készség az lesz, hogy egy képletet szét tudj szedni külső és belső függvényre, ezért érdemes ezt már most begyakorolni.

Összetétel és szétszedés

$f(x)=\sqrt{x}$ , $g(x)=x^2+1$ : $(f\circ g)(x)=\sqrt{x^2+1}$ , de $(g\circ f)(x)=(\sqrt{x})^2+1=x+1$ (csak $x\ge0$ -ra).
Az $e^{\sin 2x}$ három rétegű: kívül $e^{u}$ , alatta $\sin v$ , legbelül $2x$ . Deriváláskor kívülről befelé haladva mindegyik réteg egy szorzótényezőt ad.
Az összetett függvény értelmezési tartománya: a belső értelmezett legyen, és az értéke a külső értelmezési tartományába essen. $\ln(x^2-1)$ -nél $x^2-1>0$ kell, tehát $|x|>1$ .

5. Az inverz függvény

Az inverz függvény visszafelé csinálja ugyanazt: ha $f(a)=b$ , akkor $f^{-1}(b)=a$ . Inverze csak annak a függvénynek van, ami kölcsönösen egyértelmű (injektív): különböző helyeken különböző értéket vesz fel. A grafikonon: egy vízszintes egyenes legfeljebb egyszer metszi. A szigorúan monoton függvények ilyenek.

Inverz függvény

f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x,\qquad f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y,\qquad D_{f^{-1}}=R_f,\quad R_{f^{-1}}=D_f

Az inverz grafikonja az eredeti tükörképe az $y=x$ egyenesre. A képletét úgy kapjuk, hogy az $y=f(x)$ egyenletből $x$ -et kifejezzük, aztán a betűket felcseréljük.

Egy egyszerű példa: lineáris függvény inverze

Legyen $f(x)=2x+3$ . Felírjuk, hogy $y=2x+3$ , és kifejezzük belőle az $x$ -et: $x=\dfrac{y-3}{2}$ . Betűcsere után $f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2}$ . Ellenőrzés: $f(1)=5$ , és $f^{-1}(5)=\frac{5-3}{2}=1$ , tehát tényleg visszakaptuk az 1-et. Az inverz pontosan azt csinálja visszafelé, amit az eredeti előre: itt előbb levon 3-at, aztán felez.

Inverz keresése

$f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ , $x\neq 3$ .

$y=\dfrac{2x+1}{x-3}$ , beszorzunk: $y(x-3)=2x+1$ , azaz $xy-3y=2x+1$ .
Az $x$ -es tagok egy oldalra: $xy-2x=3y+1$ , kiemelés: $x(y-2)=3y+1$ , tehát $x=\dfrac{3y+1}{y-2}$ .
Betűcsere: $f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$ , $x\neq 2$ . Ez egyben az eredeti értékkészletét is elárulja: $R_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ .
Ellenőrzés: $f(4)=9$ , és $f^{-1}(9)=\frac{28}{7}=4$ . Rendben.

Ha nem injektív, le kell szűkíteni

Az $x^2$ -nek az egész számegyenesen nincs inverze, mert $f(2)=f(-2)$ . A $[0;\infty)$ -re leszűkítve viszont van: $\sqrt{x}$ . Ugyanez a helyzet a trigonometrikus függvényekkel: az $\arcsin$ a szinusz egy megfelelően kiválasztott darabjának az inverze.

6. Tipikus hibák

Az értelmezési tartomány elhagyása. A $\frac{x^2-1}{x-1}$ nem ugyanaz, mint az $x+1$ : az elsőnek lyuk van az $x=1$ helyen. Egyszerűsítés előtt írd le a kikötést.
Páratlan helyett „nem páros”. A paritás három kimenetű: páros, páratlan, vagy egyik sem. Az $f(-x)\neq f(x)$ önmagában még nem jelenti, hogy páratlan.
Eltolás iránya. Az $f(x-2)$ jobbra tol, nem balra.
$f^{-1}$ mint reciprok. $f^{-1}(x)$ az inverz függvény, nem $\frac{1}{f(x)}$ . A $\sin^{-1}x$ az arkusz szinusz, a reciprokot $(\sin x)^{-1}$ jelöli.
Összetétel sorrendje. $f\circ g$ -ben a $g$ a belső, hiába áll hátul. Olvasd úgy: „ $f$ a $g$ -nek”.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalása Csoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)