Matek Barnával
Ingyenes tananyagok

Analízis 2

Hármas integrál, henger- és gömbi koordináták

Térfogat és tömeg három integrállal: a határok felírása, és az áttérés henger- vagy gömbi koordinátákra, amikor a tartomány kör alakú vagy gömb.

13 perc olvasás

1. Mit jelent a hármas integrál?

A kettős integrál egy síkbeli tartományon összegez; a hármas integrál egy térbeli testen. Ha az integrandus 1, az eredmény a test térfogata; ha az integrandus a sűrűség, az eredmény a tömeg. A kiszámítás elve ugyanaz: a Fubini-tétel szerint három egymás utáni egyváltozós integrál, belülről kifelé. Ebben a leckében minden koordináta-rendszert egy olyan testen mutatok be, aminek a térfogatát fejből tudod, hogy mindig legyen mivel ellenőrizni.

Téglatesten

∭[a;b]×[c;d]×[p;q]f dV=∫ab ⁣ ⁣∫cd ⁣ ⁣∫pqf(x,y,z) dz dy dx\iiint_{[a;b]\times[c;d]\times[p;q]}f\,dV=\int_a^b\!\!\int_c^d\!\!\int_p^q f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx

Egy egyszerű példa: a téglatest térfogata

A [0;1]×[0;2]×[0;3][0;1]\times[0;2]\times[0;3] téglatest térfogatát fejből tudjuk: 1⋅2⋅3=61\cdot2\cdot3=6. Hármas integrállal, f≡1f\equiv1 mellett: ∫01 ⁣∫02 ⁣∫031 dz dy dx=∫01 ⁣∫023 dy dx=∫016 dx=6\int_0^1\!\int_0^2\!\int_0^3 1\,dz\,dy\,dx=\int_0^1\!\int_0^2 3\,dy\,dx=\int_0^1 6\,dx=6. Belülről kifelé haladtunk, és minden lépésben egy változó tűnt el. Ez a menet akkor is ugyanez, ha a határok vagy az integrandus bonyolultabbak.

Téglatest, szorzat alakú integrandus

∭xyz dV\iiint xyz\,dV ugyanezen a téglatesten. Ha az integrandus és a tartomány is szorzat alakú, a három integrál szétesik:

∫01x dx⋅∫02y dy⋅∫03z dz=12⋅2⋅92=92\int_0^1x\,dx\cdot\int_0^2y\,dy\cdot\int_0^3z\,dz=\frac12\cdot2\cdot\frac92=\frac92

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalásavagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Normáltartomány: a határok felírása

Általános testnél a belső integrál határai függvények: a zz egy alsó és egy felső felület között fut, a felületek az (x;y)(x;y) síkbeli vetület fölött. A recept: rajzold le (vagy képzeld el) a testet, döntsd el, melyik irányban „egyszerű” (melyik koordináta fut két felület között), és a vetületre írd fel a kettős integrál határait.

z-irányban normáltartomány

∭Vf dV=∬D(∫z1(x,y)z2(x,y)f dz)dA\iiint_V f\,dV=\iint_{D}\left(\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f\,dz\right)dA

A tetraéder térfogata

Az x+y+z≤1x+y+z\le1, x,y,z≥0x,y,z\ge0 tetraéder.

  1. A zz a z=0z=0 síktól a z=1−x−yz=1-x-y síkig fut. A vetület az x+y≤1x+y\le1, x,y≥0x,y\ge0 háromszög: 0≤x≤10\le x\le1, 0≤y≤1−x0\le y\le1-x.
  2. V=∫01 ⁣ ⁣∫01−x ⁣ ⁣∫01−x−ydz dy dx=∫01 ⁣ ⁣∫01−x(1−x−y) dy dx=∫01(1−x)22 dx=16V=\int_0^1\!\!\int_0^{1-x}\!\!\int_0^{1-x-y}dz\,dy\,dx=\int_0^1\!\!\int_0^{1-x}(1-x-y)\,dy\,dx=\int_0^1\frac{(1-x)^2}{2}\,dx=\frac16
  3. Ellenőrzés a gúla térfogatképletével: alap⋅magassaˊg3=12⋅13=16\frac{\text{alap}\cdot\text{magasság}}{3}=\frac{\frac12\cdot1}{3}=\frac16. Rendben.

3. Hengerkoordináták

Ha a test vetülete kör vagy körcikk, a síkbeli részt polárkoordinátákban írjuk fel, a zz-t pedig változatlanul hagyjuk. Ez a hengerkoordináta-rendszer; a térfogatelem ugyanazt az rr szorzót kapja, mint a síkban.

Hengerkoordináták

x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ,z=z,dV=r dr dφ dzx=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi,\quad z=z,\qquad dV=r\,dr\,d\varphi\,dz

Egy egyszerű példa: a henger térfogata

Egy 1 sugarú, 2 magas hengernél 0≤r≤10\le r\le1, 0≤φ≤2π0\le\varphi\le2\pi, 0≤z≤20\le z\le2, és mind a három határ szám: V=∫02π ⁣∫01 ⁣∫02r dz dr dφ=2π⋅12⋅2=2πV=\int_0^{2\pi}\!\int_0^1\!\int_0^2 r\,dz\,dr\,d\varphi=2\pi\cdot\frac12\cdot2=2\pi. Ez tényleg r2πh=1⋅π⋅2r^2\pi h=1\cdot\pi\cdot2. Az rr szorzó nélkül 4π4\pi jönne ki, ami rossz: ezért érdemes mindig egy ismert testen ellenőrizni a felírást.

Paraboloid alatti térfogat

A z=4−x2−y2z=4-x^2-y^2 paraboloid és a z=0z=0 sík közötti test.

  1. A felső felület z=4−r2z=4-r^2, az alsó z=0z=0; metszésük az r=2r=2 kör. Tehát 0≤φ≤2π0\le\varphi\le2\pi, 0≤r≤20\le r\le2, 0≤z≤4−r20\le z\le4-r^2.
  2. V=∫02π ⁣ ⁣∫02 ⁣ ⁣∫04−r2r dz dr dφ=2π∫02(4r−r3) dr=2π[2r2−r44]02=2π(8−4)=8πV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^2\!\!\int_0^{4-r^2}r\,dz\,dr\,d\varphi=2\pi\int_0^2(4r-r^3)\,dr=2\pi\left[2r^2-\frac{r^4}{4}\right]_0^2=2\pi(8-4)=8\pi

4. Gömbi koordináták

Gömbnél vagy gömbcikknél a pontot az origótól mért ρ\rho távolsággal, a zz tengelytől mért θ\theta (polár-) szöggel és a síkbeli φ\varphi szöggel adjuk meg. A térfogatelem szorzója itt ρ2sin⁡θ\rho^2\sin\theta.

Gömbi koordináták

x=ρsin⁡θcos⁡φ,y=ρsin⁡θsin⁡φ,z=ρcos⁡θ,dV=ρ2sin⁡θ dρ dθ dφx=\rho\sin\theta\cos\varphi,\quad y=\rho\sin\theta\sin\varphi,\quad z=\rho\cos\theta,\qquad dV=\rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi

A tartományok: ρ≥0\rho\ge0, 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi (az északi sarktól a déliig), 0≤φ<2π0\le\varphi<2\pi.

A gömb térfogata és tömege

  1. Térfogat, RR sugárral:
    V=∫02π ⁣ ⁣∫0π ⁣ ⁣∫0Rρ2sin⁡θ dρ dθ dφ=2π⋅[−cos⁡θ]0π⋅R33=2π⋅2⋅R33=43R3πV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^R\rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi=2\pi\cdot\bigl[-\cos\theta\bigr]_0^{\pi}\cdot\frac{R^3}{3}=2\pi\cdot2\cdot\frac{R^3}{3}=\frac43R^3\pi
  2. Tömeg, ha a sűrűség a középponttól mért távolsággal arányos, δ=ρ\delta=\rho:
    m=∫02π ⁣ ⁣∫0π ⁣ ⁣∫0Rρ⋅ρ2sin⁡θ dρ dθ dφ=2π⋅2⋅R44=πR4m=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^R\rho\cdot\rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,d\varphi=2\pi\cdot2\cdot\frac{R^4}{4}=\pi R^4

5. Az integráltranszformáció általában

Mindhárom áttérés ugyanannak az általános szabálynak a speciális esete: új változókra áttérve a térfogatelemet a leképezés Jacobi-determinánsának abszolút értékével kell szorozni. A Jacobi-mátrix a régi koordináták új koordináták szerinti parciális deriváltjaiból áll.

Helyettesítés hármas integrálban

∭Vf dx dy dz=∭V′f(x(u,v,w),…) ∣∂(x,y,z)∂(u,v,w)∣du dv dw\iiint_V f\,dx\,dy\,dz=\iiint_{V'}f\bigl(x(u,v,w),\ldots\bigr)\,\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|du\,dv\,dw
KoordinátákJacobi-determinánsMikor
Polár (síkban)rrkör, körgyűrű, körcikk
Hengerrrhenger, kúp, paraboloid
Gömbiρ2sin⁡θ\rho^2\sin\thetagömb, gömbhéj, gömbcikk

A determináns kiszámolása gömbi koordinátákra

A 3×33\times3-as Jacobi-mátrix determinánsa ρ2sin⁡θ\rho^2\sin\theta; a levezetés egy oldal, de az eredmény szemléletesen is látszik: a kis „téglatest” élei dρd\rho, ρ dθ\rho\,d\theta és ρsin⁡θ dφ\rho\sin\theta\,d\varphi, mert a φ\varphi irányú kör sugara ρsin⁡θ\rho\sin\theta.

6. Tipikus hibák

  • Elfelejtett Jacobi-szorzó. Henger- és polárkoordinátáknál rr, gömbinél ρ2sin⁡θ\rho^2\sin\theta; nélküle a gömb térfogata is rossz.
  • θ\theta tartománya 2π2\pi-ig. A polárszög 00-tól π\pi-ig fut; a teljes körüljárást a φ\varphi adja.
  • Belső határ, ami a belső változótól függ. A zz határai csak xx és yy függvényei lehetnek, a legkülső integrál határai csak számok.
  • Rossz vetület. A két felület metszésgörbéjét kell levetíteni; a paraboloidnál ez a z=0z=0-val vett metszet, az r=2r=2 kör.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalásaIngyenes konzultáció