Felületi integrál, Gauss–Osztrogradszkij- és Stokes-tétel

Egy egyszerű példa: egy darab sík

Az $xy$ sík egységnégyzetét $\mathbf r(u,v)=(u;\,v;\,0)$ paraméterezi, $u,v\in[0;1]$. Ekkor $\mathbf r_u=(1;0;0)$, $\mathbf r_v=(0;1;0)$, a vektoriális szorzat $(0;0;1)$: felfelé mutat, ahogy a síkra merőlegesnek kell, és a hossza 1, tehát $dS=du\,dv$. A felszín $\iint 1\,du\,dv=1$. Görbült felületen ugyanez a menet, csak a szorzat hossza pontról pontra változik.

A gömb paraméterezése

Az $R$ sugarú gömb a gömbi koordinátákkal: $\mathbf r(\theta,\varphi)=(R\sin\theta\cos\varphi;\,R\sin\theta\sin\varphi;\,R\cos\theta)$. A vektoriális szorzat kiszámolva $\mathbf r_\theta\times\mathbf r_\varphi=R\sin\theta\cdot\mathbf r$, hossza $R^2\sin\theta$, ezért a felszín

Egy egyszerű példa: eső a tetőn

Folyjon a víz függőlegesen lefelé, $\mathbf F=(0;\,0;\,-3)$, és nézzük az előbbi vízszintes egységnégyzetet felfelé mutató normálissal, $\mathbf n=(0;0;1)$. A skaláris szorzat $-3$ minden pontban, a fluxus $-3\cdot1=-3$: a víz a normálissal szemben megy át, ezért negatív. Ha a négyzetet függőlegesre állítod (normális $(1;0;0)$), a szorzat 0: az eső elmegy mellette, nem esik rá. Ennyit mér a fluxus.

Sugárirányú mező fluxusa a gömbön

$\mathbf F=(x;\,y;\,z)=\mathbf r$ az $R$ sugarú gömbfelületen, kifelé. A gömbön a kifelé mutató egységnormális $\mathbf n=\frac{\mathbf r}{R}$, tehát $\mathbf F\cdot\mathbf n=\frac{|\mathbf r|^2}{R}=R$, állandó:

Egy egyszerű példa: a kocka egy irányú mezőben

$\mathbf F=(x;\,0;\,0)$ az egységkockán. A divergencia $1$, a térfogat 1, tehát a tétel szerint a teljes fluxus 1. Lapról lapra ugyanez: az $x=1$ lapon a mező $(1;0;0)$, a kifelé mutató normális is, a fluxus $1\cdot1=1$; az $x=0$ lapon a mező nulla; a másik négy lapon a mező párhuzamos a lappal, ezért ott 0. Összesen tényleg 1, de a tétellel egyetlen sor volt.

Az előző fluxus egy sorban

$\operatorname{div}\mathbf r=3$, tehát $\Phi=3\cdot V_{\text{gömb}}=3\cdot\frac43R^3\pi=4R^3\pi$. Ugyanaz, mint a közvetlen számolás, felület nélkül.

Kockán

$\mathbf F=(x^2;\,y^2;\,z^2)$ fluxusa az egységkocka $[0;1]^3$ felületén. Hat lap helyett egy hármas integrál:

Keringés egy körön

$\mathbf F=(-y;\,x;\,z)$ vonalintegrálja az $x^2+y^2=1$, $z=0$ körön, pozitív irányban.

1. $\operatorname{rot}\mathbf F=(0;\,0;\,2)$. A kör által határolt felület a körlap a $z=0$ síkban, normálisa $(0;0;1)$.
2. $\operatorname{rot}\mathbf F\cdot\mathbf n=2$, tehát $\oint\mathbf F\cdot d\mathbf r=2\cdot\pi=2\pi$.
3. Közvetlenül: $\mathbf r=(\cos t;\sin t;0)$, $\mathbf F\cdot\mathbf r'=\sin^2t+\cos^2t=1$, integrálja $2\pi$. Rendben.