Gyakorló feladatsor: komplex számok

Megoldás

1. Összeg és különbség tagonként:
   $$z+w=(3+1)+(-2+4)i=4+2i,\qquad z-w=(3-1)+(-2-4)i=2-6i$$
2. Szorzat: zárójelfelbontás, majd $i^2=-1$:
   $$z\cdot w=(3-2i)(1+4i)=3+12i-2i-8i^2=3+10i+8=11+10i$$
3. Hányados: a nevező konjugáltjával, $1-4i$-vel bővítünk. A nevező $|w|^2=1+16=17$, a számláló:
   $$(3-2i)(1-4i)=3-12i-2i+8i^2=-5-14i$$
   $$\frac{z}{w}=\frac{-5-14i}{17}=-\frac{5}{17}-\frac{14}{17}\,i$$
4. Ellenőrzés visszaszorzással: $(-5-14i)(1+4i)=-5-20i-14i-56i^2=51-34i$, és $\frac{51-34i}{17}=3-2i=z$. Rendben.

Megoldás

1. Az $i$ hatványai négyesével ismétlődnek, a kitevő 4-es maradéka dönt: $2025=4\cdot506+1$, így $i^{2025}=i$; $47=4\cdot11+3$, így $i^{47}=i^3=-i$.
2. A negatív kitevő: $i^{-3}=\frac{1}{i^3}=\frac{1}{-i}$. Mivel $-i\cdot i=1$, ez $i$. (Ugyanez a maradékból: $-3=4\cdot(-1)+1$.)
3. $$i^{2025}+i^{47}+i^{-3}=i-i+i=i$$
4. Az összegben négy egymást követő hatvány összege mindig nulla: $i-1-i+1=0$. A 2026 tagból $2026=4\cdot506+2$, tehát 506 teljes négyes csoport kiesik, és marad az utolsó kettő:
   $$S=i^{2025}+i^{2026}=i+(-1)=-1+i$$

Megoldás

1. Mivel a konjugált is szerepel, a $z$-t nem lehet kifejezni; legyen $z=x+yi$, ekkor $\overline{z}=x-yi$.
2. Az első tag: $(1+i)(x+yi)=x+yi+xi+yi^2=(x-y)+(x+y)i$. A második: $2\overline{z}=2x-2yi$. Az összeg:
   $$(3x-y)+(x-y)\,i=5+i$$
3. Valós és képzetes rész összehasonlítása: $3x-y=5$ és $x-y=1$. A kettőt kivonva $2x=4$, tehát $x=2$, és $y=1$.
4. A megoldás $z=2+i$. Ellenőrzés: $(1+i)(2+i)=2+i+2i+i^2=1+3i$, ehhez $2\overline{z}=4-2i$, az összeg $5+i$. Rendben.

Megoldás

1. $z_1=-2+2i$: $r=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$. A valós rész negatív, a képzetes pozitív: II. negyed. A hegyesszög $\alpha=\arctan\frac{2}{2}=\frac{\pi}{4}$, tehát $\varphi=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$:
   $$z_1=2\sqrt2\left(\cos\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\tfrac{3\pi}{4}\right)$$
2. $z_2=3-3\sqrt3\,i$: $r=\sqrt{9+27}=6$. IV. negyed, $\alpha=\arctan\frac{3\sqrt3}{3}=\arctan\sqrt3=\frac{\pi}{3}$, tehát $\varphi=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$:
   $$z_2=6\left(\cos\tfrac{5\pi}{3}+i\sin\tfrac{5\pi}{3}\right)$$
3. $z_3=-5i$: a negatív képzetes tengelyen van, tangens sem kell: $r=5$, $\varphi=\frac{3\pi}{2}$:
   $$z_3=5\left(\cos\tfrac{3\pi}{2}+i\sin\tfrac{3\pi}{2}\right)$$
4. $z_4$: a $\frac{4\pi}{3}$ (240°) a III. negyedben van, ott mindkét függvény negatív: $\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12$, $\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}$.
   $$z_4=2\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right)=-1-\sqrt3\,i$$
   Ellenőrzés: $|z_4|=\sqrt{1+3}=2$, és a pont valóban a III. negyedben van. Rendben.

Megoldás

1. Szorzat: a hosszak szorzódnak, a szögek összeadódnak: $4\cdot2=8$, $\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}$.
   $$z_1z_2=8\left(\cos\tfrac{7\pi}{6}+i\sin\tfrac{7\pi}{6}\right)=8\left(-\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right)=-4\sqrt3-4i$$
2. Hányados: $\frac{4}{2}=2$, $\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$.
   $$\frac{z_1}{z_2}=2\left(\cos\tfrac{\pi}{2}+i\sin\tfrac{\pi}{2}\right)=2i$$
3. A fordított hányados: $\frac{2}{4}=\frac12$, a szög $\frac{\pi}{3}-\frac{5\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}$, ami $2\pi$-vel eltolva $\frac{3\pi}{2}$:
   $$\frac{z_2}{z_1}=\frac12\left(\cos\tfrac{3\pi}{2}+i\sin\tfrac{3\pi}{2}\right)=-\frac12 i$$
   Ez persze a $2i$ reciproka, és valóban $2i\cdot\left(-\frac12 i\right)=-i^2=1$.
4. Ellenőrzés algebrai alakban: $z_1=-2\sqrt3+2i$, $z_2=1+\sqrt3\,i$, a szorzat
   $$(-2\sqrt3+2i)(1+\sqrt3\,i)=-2\sqrt3-6i+2i+2\sqrt3\,i^2=-4\sqrt3-4i$$
   Rendben.

Megoldás

1. $\sqrt3-i$: $r=2$, IV. negyed, $\alpha=\arctan\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\pi}{6}$, így $\varphi=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$.
2. Kilencedik hatvány: $r^9=2^9=512$, a szög $9\cdot\frac{11\pi}{6}=\frac{33\pi}{2}$. Ebből $16\pi=\frac{32\pi}{2}$-t, nyolc teljes kört levonva $\frac{\pi}{2}$ marad.
   $$\left(\sqrt3-i\right)^9=512\left(\cos\tfrac{\pi}{2}+i\sin\tfrac{\pi}{2}\right)=512\,i$$
3. Ellenőrzés kisebb lépésekben: $\left(\sqrt3-i\right)^2=3-2\sqrt3\,i+i^2=2-2\sqrt3\,i$, ezt még egyszer $\sqrt3-i$-vel szorozva $2\sqrt3-2i-6i+2\sqrt3\,i^2=-8i$, végül $(-8i)^3=-512\,i^3=512\,i$. Rendben.
4. $-1+i$: $r=\sqrt2$, II. negyed, $\alpha=\frac{\pi}{4}$, $\varphi=\frac{3\pi}{4}$. Nyolcadik hatvány: $\left(\sqrt2\right)^8=16$, a szög $8\cdot\frac{3\pi}{4}=6\pi$, három teljes kör, tehát $0$:
   $$(-1+i)^8=16(\cos0+i\sin0)=16$$
   Ellenőrzés: $(-1+i)^2=-2i$, $(-2i)^2=-4$, $(-4)^2=16$. Rendben.

Megoldás

1. A jobb oldal trigonometrikus alakja: $r=\sqrt{64+192}=\sqrt{256}=16$. II. negyed, $\alpha=\arctan\frac{8\sqrt3}{8}=\frac{\pi}{3}$, tehát $\varphi=\frac{2\pi}{3}$.
2. Negyedik gyökök: a hossz $\rho=\sqrt[4]{16}=2$, a szögek
   $$\psi_k=\frac{\frac{2\pi}{3}+2k\pi}{4}=\frac{\pi}{6}+k\cdot\frac{\pi}{2},\qquad k=0,1,2,3$$
   vagyis $\frac{\pi}{6},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{5\pi}{3}$.
3. Vissza algebrai alakba, sorban:
   $$z_0=2\left(\cos\tfrac{\pi}{6}+i\sin\tfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt3+i,\qquad z_1=2\left(\cos\tfrac{2\pi}{3}+i\sin\tfrac{2\pi}{3}\right)=-1+\sqrt3\,i$$
   $$z_2=2\left(\cos\tfrac{7\pi}{6}+i\sin\tfrac{7\pi}{6}\right)=-\sqrt3-i,\qquad z_3=2\left(\cos\tfrac{5\pi}{3}+i\sin\tfrac{5\pi}{3}\right)=1-\sqrt3\,i$$
4. A négy pont egy 2 sugarú körön, egymástól 90°-ra: egy négyzet csúcsai, és $z_2=-z_0$, $z_3=-z_1$, ahogy egy négyzetnél lennie kell. Ellenőrzés a $z_0$-ra: $\left(\sqrt3+i\right)^2=2+2\sqrt3\,i$, és $\left(2+2\sqrt3\,i\right)^2=4+8\sqrt3\,i+12i^2=-8+8\sqrt3\,i$. Rendben.

Megoldás

1. $D=4-20=-16$, így $\sqrt{D}=4i$, és
   $$z_{1,2}=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$$
   Konjugált pár, ahogy valós együtthatóknál lennie kell. Ellenőrzés: $(-1+2i)^2+2(-1+2i)+5=(-3-4i)-2+4i+5=0$. Rendben.
2. Ha az együtthatók valósak, a $3-i$ mellett a $3+i$ is gyök. A Viète-formulák szerint a gyökök összege $6$, szorzata $(3-i)(3+i)=9+1=10$, tehát egy jó egyenlet:
   $$z^2-6z+10=0$$
   Ugyanez a gyöktényezős alakból: $(z-3+i)(z-3-i)=(z-3)^2-i^2=z^2-6z+10$.
3. A $z^4+4=0$ gyökei a $-4$ negyedik gyökei: $r=4$, $\varphi=\pi$, tehát a hossz $\sqrt[4]{4}=\sqrt2$, a szögek $\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$. Mind a négynél a koordináták $\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=1$ nagyságúak:
   $$1+i,\qquad -1+i,\qquad -1-i,\qquad 1-i$$
4. A konjugált párokat összeszorozva valós tényezők jönnek. Az $1\pm i$ párnál $\operatorname{Re}=1$, $|z_0|^2=2$; a $-1\pm i$ párnál $\operatorname{Re}=-1$, $|z_0|^2=2$:
   $$z^4+4=\left(z^2-2z+2\right)\left(z^2+2z+2\right)$$
   Ellenőrzés beszorzással: a $z^3$-ös tagok ($2z^3-2z^3$) és a $z$-es tagok ($-4z+4z$) kiesnek, a $z^2$-esek $2-4+2=0$, marad $z^4+4$. Rendben.