Matek Barnával
Ingyenes tananyagok

Gazdasági matematika

Az integrál gazdasági alkalmazásai

Határköltségből összköltség, fogyasztói és termelői többlet a kereslet és a kínálat görbéje alatt, pénzáramok jelenértéke és a Gini-együttható.

12 perc olvasás

1. Határköltségből összköltség

Ha a határköltség a költség deriváltja, akkor a költség a határköltség integrálja. Az integrálási konstans itt nem elvont dolog: a fix költség, ami nulla termelésnél is fizetendő. Ebben a leckében öt olyan helyzetet szedtem össze Neked, ahol a határozott integrál egy gazdasági mennyiséget ad: költséget, többletet, jelenértéket, egyenlőtlenséget és átlagot.

Összköltség a határköltségből

C(q)=C(0)+∫0qMC(t) dt,C(b)−C(a)=∫abMC(t) dtC(q)=C(0)+\int_0^qMC(t)\,dt,\qquad C(b)-C(a)=\int_a^bMC(t)\,dt

A legegyszerűbb eset: ha minden darab ugyanannyiba, 10-be kerül (MC=10MC=10), és a fix költség 100, akkor C(q)=100+∫0q10 dt=100+10qC(q)=100+\int_0^q10\,dt=100+10q, ahogy fejben is kijönne. Az integrál akkor kezd hasznos lenni, amikor a határköltség darabról darabra változik:

Költségfüggvény visszaállítása

MC(q)=3q2−12q+20MC(q)=3q^2-12q+20, a fix költség 50.

  1. C(q)=50+∫0q(3t2−12t+20) dt=q3−6q2+20q+50C(q)=50+\displaystyle\int_0^q(3t^2-12t+20)\,dt=q^3-6q^2+20q+50.
  2. Az 5. és a 10. egység közötti termelés többletköltsége: C(10)−C(5)=650−125=525C(10)-C(5)=650-125=525. (C(10)=1000−600+200+50C(10)=1000-600+200+50, C(5)=125−150+100+50C(5)=125-150+100+50.)

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalásavagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Fogyasztói és termelői többlet

A keresleti görbe D(q)D(q) azt mondja, mennyit fizetne a vevő a qq-adik egységért; a piacon viszont mindenki az egyensúlyi p∗p^* árat fizeti. Aki többet fizetett volna, nyert: a különbségek összege a fogyasztói többlet, a keresleti görbe és az árszint közötti terület. A kínálati oldalon ugyanez a termelői többlet.

Többletek az egyensúlyban

CS=∫0q∗D(q) dq−p∗q∗,PS=p∗q∗−∫0q∗S(q) dqCS=\int_0^{q^*}D(q)\,dq-p^*q^*,\qquad PS=p^*q^*-\int_0^{q^*}S(q)\,dq

Lineáris kereslet és kínálat

D(q)=100−2qD(q)=100-2q, S(q)=10+qS(q)=10+q.

  1. Egyensúly: 100−2q=10+q100-2q=10+q, q∗=30q^*=30, p∗=40p^*=40.
  2. CS=∫030(100−2q) dq−40⋅30=(3000−900)−1200=900CS=\int_0^{30}(100-2q)\,dq-40\cdot30=(3000-900)-1200=900
  3. PS=1200−∫030(10+q) dq=1200−(300+450)=450PS=1200-\int_0^{30}(10+q)\,dq=1200-(300+450)=450
  4. Geometriai ellenőrzés: lineáris görbéknél a többletek háromszögek: CS=(100−40)⋅302=900CS=\frac{(100-40)\cdot30}{2}=900, PS=(40−10)⋅302=450PS=\frac{(40-10)\cdot30}{2}=450. Rendben. Az integrál akkor kell, amikor a görbék nem egyenesek.

3. Folytonos pénzáram jelenértéke

Ha egy vállalkozás évi f(t)f(t) ütemben termel pénzt, és a pénz folytonosan rr kamatlábbal diszkontálódik, a tt időpontban érkező kis összeg mai értéke f(t)e−rt dtf(t)e^{-rt}\,dt; ezeket összegezve:

Jelenérték folytonos pénzáramra

PV=∫0Tf(t) e−rt dtPV=\int_0^Tf(t)\,e^{-rt}\,dt

Állandó pénzáram

Évi 1000 egység 10 éven át, r=5%r=5\%:

PV=∫0101000 e−0,05t dt=1000⋅1−e−0,50,05=20000 (1−e−0,5)≈7869PV=\int_0^{10}1000\,e^{-0{,}05t}\,dt=1000\cdot\frac{1-e^{-0{,}5}}{0{,}05}=20000\,(1-e^{-0{,}5})\approx7869

A 10 000 egység névérték helyett 7869 a mai érték. A diszkrét (évenkénti) változatot a pénzügyi számításoknál a mértani sor adja.

4. Lorenz-görbe és Gini-együttható

A jövedelmi egyenlőtlenség mérése is integrál. A Lorenz-görbe L(x)L(x) megmondja, hogy a népesség legszegényebb xx hányada a jövedelem mekkora hányadát kapja; teljes egyenlőségnél L(x)=xL(x)=x. A Gini-együttható az átló és a görbe közötti terület, az átló alatti háromszöghöz (12\frac12) viszonyítva:

Gini-együttható

G=2∫01(x−L(x)) dx=1−2∫01L(x) dxG=2\int_0^1\bigl(x-L(x)\bigr)\,dx=1-2\int_0^1L(x)\,dx

Egy egyszerű Lorenz-görbe

L(x)=x2L(x)=x^2: G=2(12−13)=13G=2\left(\frac12-\frac13\right)=\frac13. A G=0G=0 a teljes egyenlőség, a G=1G=1 az, amikor egyvalaki kap mindent.

5. Függvény átlagértéke

Egy időben változó mennyiség (ár, készlet, terhelés) átlaga egy időszakon a görbe alatti terület osztva a hosszal; ez a számtani közép folytonos változata:

Átlagérték

fˉ=1b−a∫abf(t) dt\bar f=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(t)\,dt

Átlagos készlet

Egy raktár készlete a feltöltés után egyenletesen fogy: K(t)=1000−100tK(t)=1000-100t a [0;10][0;10] napon. Az átlagos készlet 110∫010(1000−100t) dt=110(10000−5000)=500\frac{1}{10}\int_0^{10}(1000-100t)\,dt=\frac{1}{10}(10000-5000)=500, a maximum fele, ahogy egyenletes fogyásnál várható. Ez a készlettartási költség alapja.

Ugyanaz a séma mindenhol

Mind az öt alkalmazás ugyanaz a gondolat: egy sűrűséget (költség/darab, fizetési hajlandóság/darab, pénz/év) integrálunk, hogy összmennyiséget kapjunk. Ha tudod, mit jelent az integrandus egy kis szakaszon, a képletet nem kell megjegyezni.

6. Tipikus hibák

  • Elfelejtett fix költség. A határköltség integrálja csak a változó költség; a C(0)C(0)-t hozzá kell adni.
  • Többlet az ár levonása nélkül. A keresleti görbe alatti terület a teljes fizetési hajlandóság; a többlet ebből a ténylegesen kifizetett p∗q∗p^*q^* levonása után marad.
  • Rossz integrálási határ. A többleteknél 0-tól az egyensúlyi mennyiségig, nem az árig integrálunk (ha a görbe qq függvénye).
  • Diszkontálás pozitív kitevővel. A jelenértékben e−rte^{-rt} áll; erte^{rt} a jövőértéket adná.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalásaIngyenes konzultáció