Lineáris algebra

Sajátérték és sajátvektor

Mely irányokat hagy helyben egy mátrix: a karakterisztikus polinom, a sajátvektorok kiszámítása 2×2 és 3×3 méretben, és a tulajdonságok, amik gyorsítanak.

14 perc olvasás

1. Mi a sajátvektor?

Egy lineáris leképezés a legtöbb vektort elforgatja. Vannak azonban kitüntetett irányok, amiket helyben hagy: az ilyen irányú vektor képe önmaga számszorosa. Ezek a sajátvektorok, a szorzó a sajátérték.

A\mathbf v=\lambda\mathbf v,\qquad \mathbf v\neq\mathbf 0

Egy egyszerű példa, ahol ránézésre látszik

Az $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$ mátrix az $x$ irányt duplázza, az $y$ irányt ötszörözi: $A\binom10=\binom20=2\binom10$ és $A\binom01=\binom05=5\binom01$ . Az $(1;0)$ tehát sajátvektor 2-es, a $(0;1)$ 5-ös sajátértékkel. Egy „ferde” vektor, mondjuk az $(1;1)$ , viszont $(2;5)$ -be kerül, ami nem az ő számszorosa: az irány elfordult, nem sajátvektor. A lecke arról szól, hogyan találjuk meg ezeket az irányokat akkor is, ha a mátrix nem átlós.

Tükrözésnél a tükörtengely vektorai $\lambda=1$ -gyel, a rá merőlegesek $\lambda=-1$ -gyel sajátvektorok; vetítésnél a vetítés iránya $\lambda=0$ -val. A sajátvektor számszorosa is sajátvektor, ezért mindig egy egész irányról (altérről) van szó.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A karakterisztikus polinom

Az $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ átrendezve $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ : egy homogén egyenletrendszer, aminek nemtriviális megoldását keressük. Ilyen pontosan akkor van, ha a mátrix szinguláris:

Karakterisztikus egyenlet

\det(A-\lambda I)=0

A bal oldal $\lambda$ -ban $n$ -edfokú polinom, a gyökei a sajátértékek. Minden sajátértékhez a sajátvektorok az $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ rendszer nulltere: ezt eliminációval oldjuk meg. Próbáld ki előbb az átlós példán: $\det\begin{pmatrix}2-\lambda&0\\0&5-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(5-\lambda)=0$ , a gyökök 2 és 5, pontosan a főátló elemei. Átlós mátrixnál tehát nincs is mit számolni; az alábbi példa az első, ahol tényleg kell a képlet.

2×2-es mátrix

$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ .

$\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)^2-1=(\lambda-1)(\lambda-3)$
Sajátértékek: $\lambda_1=1$ , $\lambda_2=3$ .
$\lambda=1$ : $A-I=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ , a rendszer $v_1+v_2=0$ : $\mathbf v_1=(1;-1)$ .
$\lambda=3$ : $A-3I=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ , a rendszer $-v_1+v_2=0$ : $\mathbf v_2=(1;1)$ .
Ellenőrzés: $A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ . Rendben.

3. Példa 3×3-as mátrixra

Blokkos mátrix

$A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}$ .

A harmadik sor szerint kifejtve:
$\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)\bigl[(1-\lambda)^2-4\bigr]=(3-\lambda)(\lambda-3)(\lambda+1)$
Sajátértékek: $3$ (kétszeres) és $-1$ .
$\lambda=-1$ : $A+I=\begin{pmatrix}2&2&0\\2&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}$ , tehát $v_1+v_2=0$ , $v_3=0$ : $\mathbf v=(1;-1;0)$ .
$\lambda=3$ : $A-3I=\begin{pmatrix}-2&2&0\\2&-2&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ , egyetlen feltétel: $v_1=v_2$ , a $v_3$ szabad. Két független sajátvektor: $(1;1;0)$ és $(0;0;1)$ .
A kétszeres sajátértékhez kétdimenziós sajátaltér tartozik: a mátrixnak három független sajátvektora van.

Amikor kevesebb a sajátvektor

Az $\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}$ sajátértéke a $3$ , kétszeres (algebrai multiplicitás 2), de $A-3I=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ nulltere csak $\langle(1;0)\rangle$ (geometriai multiplicitás 1). Ilyenkor nincs elég sajátvektor egy bázishoz, és a mátrix nem diagonalizálható. A geometriai multiplicitás sosem nagyobb az algebrainál.

4. Tulajdonságok, amik gyorsítanak

Nyom és determináns. A sajátértékek összege a főátló összege (nyom), szorzatuk a determináns: $\sum\lambda_i=\operatorname{tr}A$ , $\prod\lambda_i=\det A$ . A 2×2-es példában $1+3=4$ és $1\cdot3=3$ . Ez a leggyorsabb ellenőrzés.
Háromszögmátrix. A sajátértékek a főátló elemei; diagonális mátrixé is.
Invertálhatóság. $A$ pontosan akkor invertálható, ha a $0$ nem sajátértéke. Az $A^{-1}$ sajátértékei $\frac1\lambda$ , az $A^k$ -é $\lambda^k$ , ugyanazokkal a sajátvektorokkal.
Szimmetrikus mátrix. Minden sajátértéke valós, és a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok merőlegesek egymásra: a példákban $(1;-1)\cdot(1;1)=0$ .
Komplex sajátértékek. Valós mátrixnak lehetnek komplex sajátértékei, konjugált párban; a síkbeli forgatásé $\cos\alpha\pm i\sin\alpha$ , mert egyetlen valós irányt sem hagy helyben.

5. Tipikus hibák

Nullvektor mint sajátvektor. A definícióban $\mathbf v\neq\mathbf 0$ ; a nullvektorra minden $\lambda$ „jó” lenne.
$\lambda$ levonása nem csak a főátlóból. $A-\lambda I$ -ben csak a főátló elemeiből vonunk le $\lambda$ -t.
Sajátvektor a sajátérték nélkül. Előbb a sajátérték, aztán a hozzá tartozó nulltér; fordítva nem megy.
Nulltér rossz leolvasása. Az $(A-\lambda I)$ mátrixnak szingulárisnak kell lennie; ha az eliminációban nem jön ki csupa nulla sor, a sajátérték hibás.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció