Gazdasági matematika

Kamatos kamat, jelenérték és annuitás

A pénz időértéke: kamatos kamat, diszkontálás, járadékok és hiteltörlesztés a mértani sorral, valamint a nettó jelenérték mint döntési szabály.

14 perc olvasás

1. Egyszerű és kamatos kamat

A pénznek időértéke van: egy mai forint többet ér egy jövő évi forintnál, mert kamatozhat. Egyszerű kamatnál csak a tőke kamatozik, kamatos kamatnál a kamat is: az egyenletes növekedést exponenciális váltja. Ebben a leckében azt szeretném megmutatni Neked, hogy a pénzügyi képletek mind egyetlen gondolatból jönnek: minden összeget ugyanarra az időpontra számolunk át, és csak utána hasonlítjuk össze.

Jövőérték

FV_{\text{egyszerű}}=PV\,(1+rn),\qquad FV_{\text{kamatos}}=PV\,(1+r)^n

Egy egyszerű példa: 100 forint, 10%, két év

Egyszerű kamattal mindkét évben 10 Ft kamat jár: $100\cdot(1+0{,}1\cdot2)=120$ . Kamatos kamattal az első év végén 110 van, és a második évben már ez a 110 kamatozik: $100\cdot1{,}1^2=121$ . Az 1 Ft különbség az első évi 10 Ft kamat kamata. Két évnél ez alig látszik, húsz évnél viszont $300$ és $100\cdot1{,}1^{20}\approx673$ áll egymással szemben: ezért mondjuk, hogy a kamatos kamat exponenciális.

Ha a bank évente $m$ -szer tőkésít (félévente, havonta), az $r$ névleges kamatláb évi $(1+\frac rm)^m-1$ effektív hozamot ad; végtelen gyakori tőkésítésnél ez $e^r-1$ , a folytonos kamatozás.

Tőkésítés	n év múlva	Évi 12%-nál 1 év alatt
évente	$(1+r)^n$	$1{,}1200$
havonta	$\left(1+\frac{r}{12}\right)^{12n}$	$1{,}01^{12}\approx1{,}1268$
folytonosan	$e^{rn}$	$e^{0{,}12}\approx1{,}1275$

Öt év kamatos kamat

1 000 000 Ft évi 6%-on 5 évig: $FV=1\,000\,000\cdot1{,}06^5\approx1\,338\,226$ Ft. Egyszerű kamattal csak $1\,000\,000\cdot1{,}30=1\,300\,000$ lenne; a különbség a kamat kamata.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Jelenérték és diszkontálás

A kérdés fordítva is feltehető: mennyit ér ma egy $n$ év múlva esedékes összeg? Annyit, amennyiből kamatozva pont az lesz. Ez a diszkontálás, és a $\frac{1}{(1+r)^n}$ a diszkonttényező.

Jelenérték

PV=\frac{FV}{(1+r)^n}

Mennyit ér ma?

2 000 000 Ft 3 év múlva, 5%-os kamatláb mellett: $PV=\dfrac{2\,000\,000}{1{,}05^3}=\dfrac{2\,000\,000}{1{,}157625}\approx1\,727\,675$ Ft. Ha valaki ma 1 700 000-ért kínálja ezt a követelést, megéri megvenni.

Több, különböző időpontban esedékes összeg jelenértéke a jelenértékek összege; ez a pénzügyi számítások egyetlen igazi szabálya, minden más ebből következik.

3. Járadékok: az annuitás

Annuitás: $n$ éven át minden év végén ugyanakkora $C$ összeg. A jelenértéke a tagok diszkontált összege, ami egy mértani sor $q=\frac{1}{1+r}$ hányadossal:

PV=\frac{C}{1+r}+\frac{C}{(1+r)^2}+\cdots+\frac{C}{(1+r)^n}=\frac{C}{1+r}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}

Annuitás jelen- és jövőértéke

PV=C\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r},\qquad FV=C\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}

Egy egyszerű példa: két részlet, kézzel és képlettel

Évi 100 Ft két éven át, 10%-on. Tagonként: $\frac{100}{1{,}1}+\frac{100}{1{,}21}\approx90{,}91+82{,}64=173{,}55$ . A képlettel: $100\cdot\frac{1-1{,}1^{-2}}{0{,}1}=100\cdot\frac{1-0{,}8264}{0{,}1}\approx173{,}55$ . Ugyanaz jött ki, és két tagnál még mindegy, melyik utat választod; tíz vagy húsz tagnál a képlet spórolja meg a munkát.

Tíz évi járadék

Évi 100 000 Ft 10 éven át, 5%: $PV=100\,000\cdot\dfrac{1-1{,}05^{-10}}{0{,}05}=100\,000\cdot\dfrac{1-0{,}6139}{0{,}05}\approx772\,170$ Ft. Az 1 000 000 Ft névérték ma 772 ezret ér.

Örökjáradék

Ha $n\to\infty$ , az $(1+r)^{-n}\to0$ , és $PV=\frac Cr$ : egy örökké fizető évi 50 000 Ft 5%-on 1 000 000 Ft-ot ér. Ha a járadék évente $g$ ütemben nő, $PV=\frac{C}{r-g}$ ( $g<r$ ); ez a részvényárazás Gordon-modellje.

4. Annuitásos hiteltörlesztés

A hitel ugyanez visszafelé: a bank ma odaad $PV$ -t, és $n$ egyenlő törlesztőrészlet jelenértékének kell ezt kiadnia. A képletet $C$ -re rendezzük:

Törlesztőrészlet

C=PV\cdot\frac{r}{1-(1+r)^{-n}}

Lakáshitel

5 000 000 Ft, 10 év, évi 8%, évi egy törlesztés.

$1{,}08^{10}\approx2{,}1589$ , tehát $1{,}08^{-10}\approx0{,}4632$ .
$C=5\,000\,000\cdot\dfrac{0{,}08}{1-0{,}4632}=\dfrac{400\,000}{0{,}5368}\approx745\,150$ Ft évente.
Tíz év alatt összesen kb. 7 451 500 Ft-ot fizet vissza; a többlet 2,45 millió a kamat. Az első évben a részletből $400\,000$ a kamat és csak $345\,150$ a tőketörlesztés; a végén fordul az arány.

Havi törlesztésnél ugyanez a képlet havi kamatlábbal ( $r/12$ ) és $12n$ periódussal; a lényeg, hogy a kamatláb és a periódus ugyanarra az időegységre vonatkozzon.

5. Nettó jelenérték: a beruházási döntés

Egy beruházás ma $I$ -be kerül, és a következő években $CF_t$ pénzáramokat hoz. Megéri-e? A szabály: számítsuk ki a pénzáramok jelenértékét a tőke alternatív hozamával ( $r$ ) diszkontálva, és vonjuk le a beruházást.

Nettó jelenérték

NPV=-I+\sum_{t=1}^n\frac{CF_t}{(1+r)^t},\qquad NPV>0\ \Rightarrow\ \text{megéri}

Egy határeset

$I=1\,000\,000$ , három éven át évi 400 000 pénzáram, $r=10\%$ .

Egyenlő pénzáramok, tehát annuitás: $PV=400\,000\cdot\dfrac{1-1{,}1^{-3}}{0{,}1}=400\,000\cdot2{,}4869\approx994\,740$ .
$NPV\approx994\,740-1\,000\,000=-5\,260<0$ : éppen nem éri meg. A névleges 1 200 000 bevétel félrevezető; diszkontálva kevesebb a kiadásnál.
Az a kamatláb, ahol az $NPV$ pont nulla, a belső megtérülési ráta (IRR); itt kicsit 10% alatt van.

6. Tipikus hibák

Százalék és tizedes tört. A képletekben $r=0{,}05$ , nem 5. Az $(1+5)^n$ látványos, de rossz.
Kamatláb és periódus eltérő egységben. Havi törlesztésnél havi kamatláb és hónapokban számolt $n$ .
Az első tag időpontja. Az annuitásképlet év végi kifizetésekre vonatkozik; év eleji (esedékes) járadéknál még egy $(1+r)$ szorzó kell.
Névérték összeadása. Különböző időpontokban esedékes összegeket csak jelenértékre hozva szabad összeadni.
Effektív helyett névleges. Két ajánlat összehasonlítása csak azonos tőkésítési gyakorisággal vagy effektív hozamra átszámolva korrekt.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció