Gazdasági matematika

Cobb–Douglas és a feltételes szélsőérték a közgazdaságtanban

Termelési és hasznossági függvények parciális deriváltjai, haszonmaximalizálás költségvetési korláttal, költségminimalizálás és a többtermékes profitmaximum.

14 perc olvasás

1. A Cobb–Douglas-függvény

Ebben a leckében a többváltozós szélsőérték és a Lagrange-multiplikátor közgazdasági alkalmazásait szedtem össze Neked. A képletek ismerősek lesznek, a különbség az, hogy minden eredménynek gazdasági jelentése van, és ezt fogjuk mindig leolvasni. A termelést két inputból, tőkéből ( $K$ ) és munkából ( $L$ ) a közgazdaságtan legtöbbet használt modellje hatványszorzattal írja le. Ugyanez az alak a hasznossági függvényeknél is előjön két jószággal.

Cobb–Douglas termelési függvény

Q(K,L)=A\,K^{\alpha}L^{\beta},\qquad A>0,\ \alpha,\beta>0

A parciális deriváltak a határtermékek: mennyivel nő a kibocsátás egy egységnyi plusz tőkétől vagy munkától.

MP_K=\frac{\partial Q}{\partial K}=\alpha\,\frac{Q}{K},\qquad MP_L=\frac{\partial Q}{\partial L}=\beta\,\frac{Q}{L}

Egy egyszerű példa: számokkal

Legyen $Q=K^{0{,}5}L^{0{,}5}=\sqrt{KL}$ , és $K=4$ , $L=9$ : a kibocsátás $\sqrt{36}=6$ . A határtermékek: $MP_K=0{,}5\cdot\frac64=0{,}75$ és $MP_L=0{,}5\cdot\frac69\approx0{,}33$ . Egy plusz egység tőke tehát több mint kétszer annyit ér, mint egy plusz egység munka: abból van kevesebb. Ha mindkét inputot megduplázzuk ( $8$ és $18$ ), $Q=\sqrt{144}=12$ , pont a duplája: $\alpha+\beta=1$ , állandó skálahozadék.

A kitevők közvetlenül olvashatók: $\alpha$ a kibocsátás tőkerugalmassága (1% több tőke $\alpha$ % több kibocsátást ad), $\beta$ a munkarugalmassága. Az $\alpha+\beta$ a skálahozadék: ha 1, minden input megduplázása a kibocsátást is duplázza; ha nagyobb, növekvő, ha kisebb, csökkenő skálahozadék.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Haszonmaximalizálás költségvetési korláttal

A fogyasztó $x$ és $y$ jószágból választ, az árak $p_x,p_y$ , a jövedelme $m$ . A hasznosságot maximalizálja a költségvetési egyenesen: tipikus feltételes szélsőérték.

A fogyasztó problémája

\max U(x,y)\quad\text{feltéve, hogy}\quad p_xx+p_yy=m

A Lagrange-feltétel $U_x=\lambda p_x$ , $U_y=\lambda p_y$ , és a kettőt elosztva a $\lambda$ kiesik:

\frac{U_x}{U_y}=\frac{p_x}{p_y}\qquad\text{(a helyettesítési határráta egyenlő az árarányal)}

Cobb–Douglas hasznosság

$U=x^{1/2}y^{1/2}$ , $p_x=2$ , $p_y=1$ , $m=100$ .

$U_x=\frac12x^{-1/2}y^{1/2}$ , $U_y=\frac12x^{1/2}y^{-1/2}$ , hányadosuk $\frac{y}{x}$ .
$\frac yx=\frac21$ , tehát $y=2x$ . A költségvetésbe: $2x+2x=100$ , $x=25$ , $y=50$ .
$U=\sqrt{25\cdot50}=\sqrt{1250}\approx35{,}4$ . A jövedelem fele-fele megy a két jószágra: Cobb–Douglasnál mindig a kitevők aránya adja a kiadási arányt.

Általános képlet Cobb–Douglasra

$U=x^ay^b$ esetén $x^*=\dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{m}{p_x}$ , $y^*=\dfrac{b}{a+b}\cdot\dfrac{m}{p_y}$ : a jövedelem $\frac{a}{a+b}$ részét költi $x$ -re, függetlenül az áraktól. Vizsgán ezt érdemes ellenőrzésnek használni, nem képletnek.

3. Költségminimalizálás adott kibocsátásnál

A vállalat oldaláról ugyanez a feladat fordítva: adott $Q_0$ kibocsátást a legolcsóbban akar előállítani, a munka bére $w$ , a tőke bérleti díja $r$ .

A vállalat költségminimuma

\min\ wL+rK\quad\text{feltéve, hogy}\quad Q(K,L)=Q_0\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{MP_L}{MP_K}=\frac wr

Szimmetrikus Cobb–Douglas

$Q=K^{1/2}L^{1/2}$ , $w=1$ , $r=4$ , $Q_0=10$ .

$\dfrac{MP_L}{MP_K}=\dfrac{\frac12\sqrt{K/L}}{\frac12\sqrt{L/K}}=\dfrac KL$ , tehát a feltétel $\dfrac KL=\dfrac14$ , azaz $L=4K$ : a drága tőkéből negyedannyit használ.
A kibocsátási feltételbe: $\sqrt{K\cdot4K}=2K=10$ , $K=5$ , $L=20$ .
A minimális költség $1\cdot20+4\cdot5=40$ . Ellenőrzés egy másik inputkombinációval, ami szintén 10-et termel: $K=L=10$ költsége $50$ , drágább. Rendben.

4. Profitmaximum két termékkel

Feltétel nélküli kétváltozós szélsőérték: a vállalat két termékből választ mennyiséget, és a profit mindkettőtől függ, akár keresztben is (közös költség, egymást helyettesítő termékek). A második derivált próba dönti el, hogy a stacionárius pont maximum-e.

Két termék közös költséggel

$\pi(x,y)=100x+80y-(x^2+xy+y^2)$ .

$\pi_x=100-2x-y=0$ , $\pi_y=80-x-2y=0$ . Az elsőből $y=100-2x$ , a másodikba: $80-x-200+4x=0$ , $x=40$ , $y=20$ .
Hesse: $\pi_{xx}=-2$ , $\pi_{yy}=-2$ , $\pi_{xy}=-1$ ; $D=4-1=3>0$ és $\pi_{xx}<0$ : maximum.
$\pi(40,20)=4000+1600-(1600+800+400)=2800$ .

5. A multiplikátor jelentése: árnyékár

A Lagrange-feladatban a $\lambda$ -t általában kiküszöböljük, pedig van jelentése: mennyivel nő az optimális célfüggvényérték, ha a korlátot egy egységgel lazítjuk.

Árnyékár

\lambda=\frac{dU^*}{dm}

A haszonmaximalizálásnál a $\lambda$ a jövedelem határhaszna: egy plusz forint ennyi hasznosságot ér. A költségminimalizálásnál a $\lambda$ a határköltség: egy plusz egység kibocsátás ennyibe kerül a legolcsóbb módon. A fenti példában $\lambda=4$ : a 11. egység körülbelül 4-be kerülne. (Ellenőrzés: a költség $Q_0$ függvényében $4Q_0$ , deriváltja 4.)

Ezért nem dobjuk el a λ-t a gyakorlatban

Operációkutatásban és pénzügyben az árnyékár a döntés alapja: megéri-e még egy gépet bérelni, ha az árnyékára nagyobb a piaci áránál. A matematikailag mellékes ismeretlen a közgazdasági válasz.

6. Tipikus hibák

Határtermék helyett átlagtermék. Az $MP_K$ a parciális derivált, nem $Q/K$ ; Cobb–Douglasnál a kettő aránya a kitevő.
Költségvetés egyenlőtlenségként kezelve. Ha a hasznosság mindkét jószágban növő, a fogyasztó a teljes jövedelmét elkölti: a feltétel egyenlőség.
Rossz oldalra írt árarány. $\frac{U_x}{U_y}=\frac{p_x}{p_y}$ : a számláló mindkét oldalon az $x$ -hez tartozik.
Két termék, csak az egyik derivált. Feltétel nélküli feladatban mindkét parciális derivált nulla; a Hesse-vizsgálat pedig hozzátartozik.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció