Szélsőérték-feladatok

Egy egyszerű példa a lépéssorra

Két szám összege 10. Mekkorák legyenek, hogy a szorzatuk a lehető legnagyobb legyen?

1. Az egyik szám legyen $x$. A célfüggvény a szorzat, ami először két számtól függ: $P=x\cdot y$.
2. A kényszer $x+y=10$, ebből $y=10-x$. Behelyettesítve: $P(x)=x(10-x)=10x-x^2$, és ez már egyváltozós.
3. $P'(x)=10-2x=0$, tehát $x=5$, és így $y=5$ is. A $P''(x)=-2<0$ megerősíti, hogy ez maximum: a legnagyobb szorzat $25$.

Minden további feladat pontosan ugyanez a gondolatmenet, csak a célfüggvény és a kényszer lesz más.

Adott kerület, maximális terület

40 m kerítésből téglalap alakú kertet kerítünk. Mekkorák az oldalak, ha a terület a lehető legnagyobb?

1. Oldalak $x$ és $y$. Célfüggvény: $T=xy$. Kényszer: $2x+2y=40$, azaz $y=20-x$.
2. Behelyettesítve: $T(x)=x(20-x)=20x-x^2$, $0<x<20$.
3. $T'(x)=20-2x=0$, tehát $x=10$. $T''(x)=-2<0$: maximum. Az oldalak $10\times10$ m, a kert négyzet, területe $100$ m².

Sarkok kivágása, maximális térfogat

Egy $20\times20$ cm-es kartonlap négy sarkából $x$ oldalú négyzeteket vágunk ki, és a széleket felhajtva nyitott dobozt készítünk. Mekkora $x$-nél lesz a térfogat maximális?

1. Az alap $(20-2x)\times(20-2x)$, a magasság $x$: $V(x)=x(20-2x)^2$, ahol $0<x<10$.
2. Szorzatszabály és láncszabály:
   $$V'(x)=(20-2x)^2+x\cdot2(20-2x)(-2)=(20-2x)\bigl(20-2x-4x\bigr)=(20-2x)(20-6x)$$
3. $V'=0$: $x=10$ (kiesik, nincs a tartományban) vagy $x=\frac{10}{3}$.
4. Előjel: $x<\frac{10}{3}$-ra $V'>0$, utána $V'<0$: maximum. A térfogat $V=\frac{10}{3}\cdot\left(\frac{40}{3}\right)^2=\frac{16000}{27}\approx593$ cm³.

Adott térfogat, minimális felszín

Egy 1 literes ($1000$ cm³) zárt hengeres konzervdobozhoz a lehető legkevesebb fémet akarjuk használni. Mekkora legyen a sugara és a magassága?

1. Célfüggvény a felszín: $A=2r^2\pi+2r\pi h$. Kényszer: $r^2\pi h=1000$, tehát $h=\dfrac{1000}{r^2\pi}$.
2. $A(r)=2r^2\pi+\dfrac{2000}{r}$, $r>0$.
3. $A'(r)=4r\pi-\dfrac{2000}{r^2}=0$, azaz $r^3=\dfrac{500}{\pi}$, $r=\sqrt[3]{500/\pi}\approx5{,}42$ cm.
4. $A''(r)=4\pi+\dfrac{4000}{r^3}>0$: minimum. A magasság $h=\dfrac{1000}{r^2\pi}=\dfrac{2\cdot500/\pi}{r^2}=\dfrac{2r^3}{r^2}=2r\approx10{,}84$ cm.

Távolság minimalizálása

Az $y=x^2$ parabola melyik pontja van a legközelebb a $(3;\,0)$ ponthoz?

1. A parabola pontja $(x;\,x^2)$. A távolság négyzete (a gyök nélkül ugyanott van a minimum, és könnyebb deriválni): $d(x)=(x-3)^2+x^4$.
2. $d'(x)=2(x-3)+4x^3=0$, azaz $2x^3+x-3=0$. Az $x=1$ gyök ($2+1-3=0$); a $2x^3+x-3=(x-1)(2x^2+2x+3)$ második tényezőjének nincs valós gyöke, tehát ez az egyetlen kritikus pont.
3. $d''(x)=2+12x^2>0$: minimum. A keresett pont $(1;\,1)$, a távolság $\sqrt{4+1}=\sqrt5$.