Analízis 2

Feltételes szélsőérték: a Lagrange-multiplikátor

Szélsőérték egy mellékfeltétel mellett: miért párhuzamos a két gradiens, hogyan írjuk fel és oldjuk meg a Lagrange-rendszert, és hogyan döntjük el, hogy maximum vagy minimum.

13 perc olvasás

1. A feladat és a geometriai ötlet

Feltételes szélsőérték-feladatban nem a teljes síkon keressük az $f(x,y)$ legnagyobb értékét, hanem csak egy görbén, amit a $g(x,y)=0$ feltétel ad meg. Egy változóra visszavezetni sokszor nehéz vagy lehetetlen; a Lagrange-módszer ezt megkerüli. Ebben a leckében előbb a geometriai gondolatot mutatom meg, mert ha azt érted, a képletet nem kell magolni, utána pedig négy tipikus feladaton végigmegyünk együtt.

Az ötlet: rajzoljuk fel $f$ szintvonalait és a $g=0$ görbét. Ahol a görbe átmetsz egy szintvonalat, ott továbbhaladva $f$ még nő vagy csökken, tehát ott nincs szélsőérték. Szélsőérték csak ott lehet, ahol a görbe érint egy szintvonalat. Érintésnél a két görbe normálvektora párhuzamos, a normálvektorok pedig a gradiensek:

Lagrange feltétele

\operatorname{grad}f=\lambda\,\operatorname{grad}g,\qquad g(x,y)=0

A $\lambda$ a Lagrange-multiplikátor: egy segédismeretlen, ami azt fejezi ki, hogy a két gradiens párhuzamos, de nem feltétlenül egyenlő hosszú.

Egy egyszerű példa a feltételre

Keressük az $x+y=2$ egyenes origóhoz legközelebbi pontját, vagyis $f=x^2+y^2$ minimumát a $g=x+y-2=0$ feltétel mellett. A gradiensek: $\operatorname{grad}f=(2x;2y)$ és $\operatorname{grad}g=(1;1)$ . A kettő akkor párhuzamos, ha $2x=\lambda$ és $2y=\lambda$ , tehát $x=y$ . A feltételből $x=y=1$ : a keresett pont az $(1;1)$ . Rajzold fel: az $f$ szintvonalai origó középpontú körök, és az egyenes pontosan az $(1;1)$ -ben érinti a legkisebb olyan kört, amit még elér.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. A Lagrange-függvény és az egyenletrendszer

Ugyanezt a három egyenletet kapjuk, ha felírjuk a Lagrange-függvényt, és minden változója szerint nullává tesszük a parciális deriváltját:

Lagrange-függvény

L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,g(x,y),\qquad L_x=0,\quad L_y=0,\quad L_\lambda=0

Az első kettő $f_x=\lambda g_x$ és $f_y=\lambda g_y$ , a harmadik maga a feltétel. Három egyenlet, három ismeretlen ( $x,y,\lambda$ ); a leggyakoribb megoldási trükk, hogy az első kettőből $\lambda$ -t kiküszöböljük (elosztjuk őket egymással, vagy mindkettőből kifejezzük), és a kapott kapcsolatot a feltételbe írjuk.

Adott összeg, maximális szorzat

$f(x,y)=xy$ maximuma az $x+y=10$ feltétel mellett.

$g=x+y-10$ . $L_x=y-\lambda=0$ , $L_y=x-\lambda=0$ , tehát $x=y=\lambda$ .
A feltételbe: $2x=10$ , $x=y=5$ , $f=25$ .
Maximum-e? A feltétel egyenesén $f=x(10-x)$ , lefelé nyíló parabola, tehát igen. Egyváltozósan is kijött volna, de a módszer akkor is működik, amikor nem.

3. További kidolgozott példák

Legközelebbi pont egy egyenesen

Az $x+2y=5$ egyenes melyik pontja van legközelebb az origóhoz? Minimalizáljuk $f=x^2+y^2$ -et.

$2x=\lambda\cdot1$ , $2y=\lambda\cdot2$ . A másodikat az elsővel osztva $\frac{y}{x}=2$ , azaz $y=2x$ .
Feltétel: $x+4x=5$ , $x=1$ , $y=2$ . A pont $(1;2)$ , távolsága $\sqrt5$ .
Geometriai ellenőrzés: az $(1;2)$ vektor párhuzamos az egyenes $(1;2)$ normálvektorával, tehát merőleges az egyenesre. Rendben.

Szélsőértékek egy körön

$f=x+y$ legnagyobb és legkisebb értéke az $x^2+y^2=2$ körön.

$1=2\lambda x$ , $1=2\lambda y$ , tehát $x=y$ ( $\lambda\neq0$ , különben $1=0$ ).
Feltétel: $2x^2=2$ , $x=y=\pm1$ . Két jelölt: $(1;1)$ , ahol $f=2$ , és $(-1;-1)$ , ahol $f=-2$ .
A kör zárt és korlátos, tehát a maximum és a minimum létezik, és csak jelöltekben lehet: a maximum $2$ , a minimum $-2$ .

Így döntsd el, hogy maximum vagy minimum

A Lagrange-rendszer csak a jelölteket adja. Ha a feltétel görbéje zárt és korlátos, a legnagyobb jelölt a maximum, a legkisebb a minimum. Ha nem (egyenes, parabola), a feladat szemléletéből vagy a feltétel paraméterezéséből kell megnézni, hogy a talált pont mi.

4. Több változó, több feltétel

Három változóban a feltétel egy felület, és a rendszer négy egyenletből áll; két feltételnél két multiplikátor kell:

\operatorname{grad}f=\lambda\operatorname{grad}g+\mu\operatorname{grad}h,\qquad g=0,\qquad h=0

Maximális térfogatú doboz adott felszínnel

$V=xyz$ maximuma, ha a felszín $2(xy+yz+zx)=6$ , azaz $g=xy+yz+zx-3=0$ .

$yz=\lambda(y+z)$ , $xz=\lambda(x+z)$ , $xy=\lambda(x+y)$ .
Szorozzuk az elsőt $x$ -szel, a másodikat $y$ -nal, a harmadikat $z$ -vel: mindhárom bal oldal $xyz$ lesz, tehát $\lambda(xy+xz)=\lambda(xy+yz)=\lambda(xz+yz)$ . A $\lambda\neq0$ (különben $yz=0$ lenne), így $xz=yz$ és $xy=xz$ , pozitív oldalakkal $x=y=z$ .
Feltétel: $3x^2=3$ , $x=y=z=1$ : a kocka, $V=1$ . Adott felszínű téglatestek közül a kocka a legnagyobb térfogatú.

A közgazdaságtanban ez a módszer a haszon- és költségoptimalizálás alapeszköze; ott a $\lambda$ -nak jelentése is van (árnyékár), lásd a gazdasági alkalmazásoknál.

5. Tipikus hibák

A feltétel elhagyása. Az $f_x=\lambda g_x$ , $f_y=\lambda g_y$ két egyenlet három ismeretlenre; a harmadik egyenlet a $g=0$ . Nélküle nincs megoldás.
Osztás nullával $\lambda$ kiküszöbölésekor. Ha az egyenleteket elosztod egymással, külön meg kell nézni, mi van, ha az osztó nulla; ott is lehet jelölt.
Maximum és minimum automatikus eldöntése. A módszer jelölteket ad; hogy melyik mi, azt külön kell eldönteni.
$\lambda$ értékének hajszolása. A multiplikátort általában nem kell kiszámolni, csak kiküszöbölni; a kérdés $x$ és $y$ .
Egyenlőtlenség-feltétel egyenletként. Ha a feltétel $g\le0$ (tartomány, nem görbe), a belső stacionárius pontokat is vizsgálni kell, ahogy a zárt tartományos feladatoknál.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt viszont, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Foglalj egy alkalmat, vagy beszéljük meg egy ingyenes konzultáción, mire van szükséged.

Egyéni óra foglalása Ingyenes konzultáció