Analízis 1

Trigonometrikus függvények integrálása

Szinusz és koszinusz hatványai és szorzatai, tangens és kotangens, valamint a t = tg(x/2) helyettesítés: melyik esetben melyik trükk.

12 perc olvasás

1. Páros hatványok: linearizálás

A $\sin^2x$ és a $\cos^2x$ nincs az alapintegrálok között, de a kétszeres szög koszinuszából kifejezhetők, és az már integrálható. Ezt hívják linearizálásnak: a négyzet eltűnik, helyette dupla szög jelenik meg. Ebben a leckében a trigonometrikus integrálok négy tipikus esetét szedtem össze Neked, mindegyikhez azzal a kérdéssel, hogy miről ismered fel, mikor melyiket kell használni.

Linearizáló képletek

\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2},\qquad \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}

A két alapeset

\int\sin^2x\,dx=\int\frac{1-\cos2x}{2}\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C

\int\cos^2x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C

Ellenőrzés az elsőre: $\left(\frac x2-\frac{\sin2x}{4}\right)'=\frac12-\frac{\cos2x}{2}=\sin^2x$ . Rendben.

Negyedik hatványnál kétszer kell linearizálni: $\cos^4x=\left(\frac{1+\cos2x}{2}\right)^2=\frac{1+2\cos2x+\cos^22x}{4}$ , és a $\cos^22x$ -re újra a képlet, most $4x$ -szel.

Elakadtál ennél a résznél?

Egy órán megnézzük, pontosan hol csúszik el, és addig gyakoroljuk, amíg magabiztos nem leszel benne.

Egyéni óra foglalása vagy 15 perc ingyenes konzultáció

2. Páratlan hatványok: helyettesítés

Ha a szinusz vagy a koszinusz páratlan hatványon áll, egyet leválasztunk belőle a $dx$ mellé, a maradék páros hatványt a $\sin^2x+\cos^2x=1$ azonossággal a másik függvényre írjuk át, és azt helyettesítjük.

Harmadik hatvány

$\int\sin^3x\,dx=\int\sin^2x\cdot\sin x\,dx=\int(1-\cos^2x)\sin x\,dx$ .
Legyen $u=\cos x$ , $du=-\sin x\,dx$ :
$\int(1-u^2)(-du)=-u+\frac{u^3}{3}+C=-\cos x+\frac{\cos^3x}{3}+C$

Ugyanez működik a vegyes szorzatoknál is. A döntési szabály $\int\sin^mx\cos^nx\,dx$ -re:

Eset	Mit csinálunk
$m$ páratlan	egy $\sin x$ -et leválasztunk, $u=\cos x$
$n$ páratlan	egy $\cos x$ -et leválasztunk, $u=\sin x$
mindkettő páros	linearizálás, esetleg többször

Vegyes szorzat

$\int\sin^2x\cos^3x\,dx$ : a koszinusz páratlan, tehát $\cos^3x=(1-\sin^2x)\cos x$ és $u=\sin x$ :

\int u^2(1-u^2)\,du=\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C=\frac{\sin^3x}{3}-\frac{\sin^5x}{5}+C

3. Szorzatok különböző szögekkel

A $\sin3x\cos x$ típusú szorzatokat az addíciós tételekből származó képletek összeggé alakítják, és az összeg tagonként integrálható:

Szorzatból összeg

\sin a\cos b=\tfrac12\bigl[\sin(a+b)+\sin(a-b)\bigr],\quad \cos a\cos b=\tfrac12\bigl[\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr],\quad \sin a\sin b=\tfrac12\bigl[\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr]

Egy egyszerű példa: két különböző frekvencia

$\int\sin3x\cos x\,dx$ . Az első képletet használjuk $a=3x$ és $b=x$ mellett, így a szorzatból $\sin4x$ és $\sin2x$ összege lesz, és mindkettőt a lineáris belső függvény szabályával integráljuk:

\int\sin3x\cos x\,dx=\frac12\int\bigl(\sin4x+\sin2x\bigr)dx=-\frac{\cos4x}{8}-\frac{\cos2x}{4}+C

A nevezőben álló 8 és 4 a $\frac12$ -ből és a belső együtthatóból (4, illetve 2) jött össze.

Ezért ortogonálisak a Fourier-sor tagjai

Ha a fenti képletekkel $\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin kx\,dx$ -et kiszámolod, $n\neq k$ -ra nullát kapsz. Ez az a tulajdonság, amire a Fourier-sorok együtthatóképletei épülnek.

4. Tangens és kotangens

A tangens integrálja az $\int\frac{f'}{f}=\ln|f|$ szabályból jön, mert $\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ , és a számláló a nevező deriváltjának a $-1$ -szerese:

\int\operatorname{tg}x\,dx=-\ln|\cos x|+C,\qquad \int\operatorname{ctg}x\,dx=\ln|\sin x|+C

A négyzeteknél az $1+\operatorname{tg}^2x=\frac{1}{\cos^2x}$ azonosság segít, mert a jobb oldal alapintegrál:

\int\operatorname{tg}^2x\,dx=\int\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx=\operatorname{tg}x-x+C

Magasabb hatványnál ugyanez a trükk csökkenti a kitevőt kettővel: $\operatorname{tg}^3x=\operatorname{tg}x\cdot(\frac{1}{\cos^2x}-1)$ , az első tag $u=\operatorname{tg}x$ helyettesítéssel $\frac{\operatorname{tg}^2x}{2}$ , a második a fenti.

5. Az univerzális helyettesítés

Ha semmi más nem megy, mert a szinusz és a koszinusz egy törtben, például a nevezőben áll, a $t=\operatorname{tg}\frac{x}{2}$ helyettesítés minden trigonometrikus racionális kifejezést közönséges racionális törtté alakít:

t = tg(x/2)

\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}

Szinusz és koszinusz a nevezőben

$\displaystyle\int\frac{dx}{1+\cos x}$ .

$1+\cos x=1+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}=\dfrac{2}{1+t^2}$ .
$\int\frac{dx}{1+\cos x}=\int\frac{1+t^2}{2}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2}=\int dt=t+C=\operatorname{tg}\frac{x}{2}+C$
Ellenőrzés: $\left(\operatorname{tg}\frac x2\right)'=\frac{1}{2\cos^2\frac x2}=\frac{1}{1+\cos x}$ a $2\cos^2\frac x2=1+\cos x$ azonosság miatt. Rendben.

Az eredmény ezután gyakran parciális törtekre bontást igényel. A módszer mindig működik, de hosszú, ezért csak akkor érdemes elővenni, ha a fentiek egyike sem alkalmazható.

6. Tipikus hibák

$\int\sin^2x\,dx=\frac{\sin^3x}{3}$ . A hatványszabály $x^n$ -re vonatkozik, nem $\sin^nx$ -re. Páros hatványnál linearizálni kell.
Elfelejtett belső derivált. A $\int\cos2x\,dx=\frac{\sin2x}{2}$ , nem $\sin2x$ . A linearizálás után ez a leggyakoribb elcsúszás.
Előjel a helyettesítésnél. Az $u=\cos x$ esetén $du=-\sin x\,dx$ ; a mínusz nélkül az eredmény előjele fordul.
Az univerzális helyettesítés elsőre. Ha van egyszerűbb út (leválasztás, linearizálás), az sokkal rövidebb. A $t=\operatorname{tg}\frac x2$ az utolsó eszköz.

Ingyenes szabályösszegző ehhez a témáhozAz összes deriválási és integrálási szabály és az alapderiváltak egy nyomtatható lapon, e-mailben, ingyen.

Elakadtál menet közben?

Egy tananyag megmutatja, hogyan működik a dolog. Azt, hogy pontosan hol csúszik el nálad, egy óra alatt derítjük ki. Ezt a témát a heti csoportos órán is vesszük, felvétellel, alkalmanként pár ezer forintért.

Egyéni óra foglalása Csoportos óra (Matek 1 / Analízis 1)